2005年研究生入学考试数学三试题及答案.docVIP

填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限= 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 = 【评注】 若在某变化过程下，，则 （2） 微分方程满足初始条件的特解为 . 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 ，积分得 ， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2. 【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 ， 再积分求解. （3）设二元函数，则 . 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】 , , 于是 . （4）设行向量组，，，线性相关，且，则a= . 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故 【评注】 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则 = . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 =+ ++ = 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件与相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 . 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件与相互独立，于是有 ， 即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1 【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求的基本内容. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). 【评注】 对于三次多项式函数f(x)=,当两个极值同号时，函数f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数f(x) 有两个零点. （8）设,,,其中，则 (A) . （B）. (C) . (D) . [ A ] 【分析】 关键在于比较、与在区域上的大小. 【详解】 在区域上，有，从而有 由于cosx在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A). 【评注】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论. （9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是 (A) 收敛，发散 . （B） 收敛，发散. (C) 收敛. (D) 收敛. [ D ] 【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案. 【详解】 取，则发散，收敛， 但与均发散，排除(A),(B)选项，且发散，进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数的部分和数列极限存在. 【评注】 通过反例用排除法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法. （10）设,下列命题中正确的是 f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值. （C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. [ B ] 【分析】 先求出，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解】 ，显然 ， 又 ，且，故f