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瞬时热源产生流场的一个线性化分析 郑 毅 应纯同 (清华大学工程物理系 北京 100084) 摘要：本文在非流体静力、Boussinesq、非旋转、不可压缩流体假设下，提出了一个两维线性瞬时热源流场的分析模型，认为流场的脉动分量只与初始热源的分布形式有关，涡量的生成与环境流体的Brunt-V?is?l?浮力频率相关。当轴对称情况下时会产生涡环。热源在稳定层结上升高度的呈振荡形式，与Morton等的结果基本一致。在中性和不稳定层结，热源上升高度在粘性的影响下最终会稳定在某一高度。 关键词：瞬时热源，爆炸，线性化，流场分析 1.引言 瞬时热源又称为热柱(Thermal)，是大气中观察到的许多热对流现象之一[1][2]。最为瞩目的现象就是大气层核爆炸产生的巨大蘑菇云，从而引起人们对于其物理产生机制的好奇心。早在1945年G.I.Taylor就为Los Alamos实验室撰写了一份报告[]，提出了爆炸烟云的增长半径与上升高度成正比，烟云的上升速度与烟团的浮力的二分之一次方成正比的结论，这些结论经以后的研究基本正确。另一方面，气象上的积云对流问题也在这一阶段提出，Batchelor(1954)[]提出如果瞬时在大气中一点释放一个热源就会引起空气的上升和产生湍流，冷空气将被挟卷到上升的云中，他得到了和Taylor相似的结论。Morton、Taylor和Turner(1956)进行了一系列实验[]，采用盐溶液模拟大气的分层流体，在其中连续或瞬时释放轻流体来观察轻流体“云”的运动过程，验证了Taylor(1945)提出的结论。Scorer(1957)在水箱顶部释放重溶液，采用照相方法观察他们的向下增长[]，测量到了上升速度和浮力之间的比例系数为1.2。Turner(1957)在他的文章中首次提出了浮力涡环的概念，。 (1) (2) (3) (4) 其中，分别为水平速度、垂直速度、位温和压力扰动，为热量扰动，为涡旋扩散系数，为涡旋热传导系数，分别为水平速度、温度、位温和密度的平均值，为Brunt-V?is?l?浮力频率，。 得到： (5) 其中。上式也可以表示成： (6) 其中是周向涡度，。可以看出，对于绕垂直轴对称的系统，周向涡度的时间变化除与涡旋扩散有关外，只与位温脉动的水平变化有关。实际上，即表示浮力脉动。 得到： (7) 得到： (8) 把(8)带入(7)得到： (9) 同理可得： (10) 对(9)进行Laplace变换(t-s)和Fourier变换(x-k,z-l)，假设是常数，得到： (11) 其中。对(3)进行Laplace变换(t-s)和Fourier变换(x-k,z-l)，假设是常数，是Dirac函数，用来表示瞬时产生的热源，得到： (12) 设空气中，即Prandtl数为1，把(11)带入(12)得到： (13) (14) 上两式相当于如下的单一方程： (15) (16) 同时可得： (17) (18) 可以看出，唯一的与热源的分布形式有关，非均匀的热源分布将产生涡度，均匀的热源将产生内重力(浮力)波，在这里不予讨论，请参考文献[13]。对(13)(14)式进行逆Laplace变换(s-t)， 当层结是稳定时，即，得到： (19) (20) (21) (22) 我们看出脉动量以及随时间的变化是一振荡衰减的形式。 当层结不稳定时，即，得到： (23) (24) (25) (26) 当层结是中性时，，得到： (27) (28) (29) (30) 脉动量和瞬时热源的分布直接相关。如果知道的表达式，进行Fourier变换后带入上式，再进行逆Fourier变换(k-x,l-z)就可得到以及。在层结稳定条件下，设，其中，为单位质量空气中释放的热量(单位J/kg)。得到： (31) 从(31)式可以看到，表示脉动项的平流，后两项表示随着接近浮力频率振荡衰减，实际上，当时，振荡频率为，表明其变化慢于浮力频率，其意义是由浮力产生的运动从单纯的垂直运动变成了两维运动，其运动形式与源项是一致的。采用同样的方法得到： (32) (33) (34) Figure 1：脉动量随时间的变化形式(归一化) 图1显示了归一化的脉动量随时间的变化，其中。 当热源在一定高度释放同时有地表面存在时，采用镜像法以确保边界为无流通过，得到： (35) (36) (37) Figure 2：x-z平面流场，假设,为任意单位 其中，