数学建模数学模型作业题.docVIP

一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： 因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和时段的数量和决定，如果设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。 若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格由第k+1和第k时段的数量和决定，设由和的平均值决定，即二者平均值，模型为： 由此可以得到 ， 其特征方程为 ， 得出其特征根： 当时，有： 由以上可算出： 即： 所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为。 设也由和的平均值决定，模型为： 得，由决定，其特征方程为，该方程所有特征根的条件（即平衡点稳定的条件）仍为。 二、在7.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从规律，而单位时间捕捞量为常数 分别就这三种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点极其稳定状况。 如何获得最大持续产量，其结果与17.1节的产量模型有何不同？ 解：设时刻t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：变化的模型为： 即 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由，得 即 （1） 可以解得（1）： (当，，（1）无实根，此时无平衡点； (当，，得到两个平衡点： 可以知道：当时，； 当时，； 平衡点不稳定，平衡点稳定。 (当，，（1）有两个相等的实根，平衡点为： 所以不能断定其稳定性。 当及均有,即，不稳定。 最大持续产量的数学模型为： 即,可以得到,此时，但是这个平衡点不稳定。这是与17.1节的产量模型的不同之处。 要获得最大产量，应使渔场鱼量,切尽量接近，但不能等于。 三、与模型不同的另一种描述种群增长规律的是模型：，其中和的意义与模型相同。 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为，讨论渔场鱼量的平均平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平。 解：变化规律的数学模型为： 即 （1）令得 平衡点为，又 平衡点是稳定的，而平衡点不稳定。 最大持续产量的数学模型为： 由前面的结果可得 令 同时得到最大产量的捕捞强度，从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平。 四、下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入千元，风险偏好度和人寿保险额千元的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。 请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。 序号 序号 1 196 66.290 7 10 49 37.408 5 2 63 40.964 5 11 105 54.376 2 3 252 72.996 10 12 98 46.186 7 4 84 45.010 6 13 77 46.130 4 5 126 57.204 4 14 14 30.366 3 6 14 26.852 5 15 56 39.060 5 7 49 38.122 4 16 245 79.380 1 8 49 35.840 6 17 133 52.766 8 9 266 75.796 9 18 133 55.916 6 解：输入程序： x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916]; y1=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; p=polyfit(x1,y1,2) x2=0:0.01:85;y2=polyval(p,x2); plot(x1