数学竞赛专题讲座第三讲函数的方程与迭代.docVIP

第三讲　函数的方程迭代 主讲人：高云 1、函数迭代 定义和符号 设f(x)是定义在集合M上并在M上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f(1)(x)=f(x) (x∈M) f(n)(x)=f(f(n-1)(x)) (x∈M) (n≥2) f(n)(x)称为函数f(x)的n次迭代。 有时还规定f(0)(x)=f(x) (x∈M) 2、不定方程 有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，应该怎样分呢？ 这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n头马，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，并满足 Abc, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (++)(n+1)=n 问老人的马的匹数n有多少种可能分法？显然就是求方程++=满足条件abc且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。 3、高斯函数[x] 定义：[x]－表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x的小数部分函数y={x}, {x}=x－[x]。 图象： 性质： y=[x]的定义域为R，值域为Z，y={x}定义域为R，值域为[0,1)，是周期函数。 对任意实数x，有x－1[x]≤[x]+1； [x]是不减函数，即当x≤y时，有[x]≤[y]； [x+m]=[x]+m(m∈Z； 对一切实数x,y有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； 若x≥0, y≥0，则[xy]≥[x]?[y]； [－x]= 若n∈N*, x∈R，则[nx]≥n[x]； =，其中x∈(0,+∞), n∈N*； 把n!中素数p的最高次记为p(n!)，则p(n!)=++…+，这里pk≤n≤pk+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。而在计算机的理论上，高斯函数具有特别重要的地位。由于它知识少，而技巧性强，所以经常出现在国际、国内的竞赛的试卷上。 一、填空题 1．已知f(x)+2f()=3x，则f(x)的解析式为　　　　　　。 解析：f(x)=-x 2．已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。 解析：f(x)=x2+x 二、解答题 3．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。 ①求证：A(B；②如果A={－1,3}，求B。 解析：①设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A ∵A={x|x=f(x)} ∴x0=f(x0)(f[f(x0)]=f(x0)=x0(x0∈B ∴A(B ②∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-1)x+q=0} ∴((f(x)= x2-x-3 ∵f[f(x)]=x(x4-2x3-6x2+6x+9=0((x2-2x-3)(x2-3)=0(x=-1或3或或- ∴B={-1,3,-,}。 4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立： ①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。 若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。 解析：反复利用② ∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*) ∴f(x+5)=f(x)+5 ∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1 ∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1 5．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。 ①求f(x)的解析式； ②是否存在实数m，n (mn)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]？如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由。 解析：①∵方程f(x)=2x有等根(⊿＝0(b=2 ∵f(x－1)=f(3－x)(f(x)=f(2-x)(图象的对称轴为x=-=1(a=-1 ∴f(x)=-x2+2x ②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1(n≤ ∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数 若满足题设条件的m,n存在，则 ( ∵mn≤ ∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0] ∴存在m=-2,n=0，满足条件。 6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x