初二趣味数学(第九周).pptVIP

总结上题及例1例2：可归纳为两种情况： 1、留1，杀2类： 剩下号＝（总数－小于总数最大的2的次方数）×2＋1 2、杀1，留2类： 剩下号＝（总数－小于总数最大的2的次方数）×2 记住留1要加1，杀1不用加1。 * 据说著名犹太历史学家约瑟夫 (Josephus)有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与约瑟夫 (Josephus)及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。 约瑟夫及他的朋友应排在那个位置才会存活下来？ 例1 把1～999这999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上（如下图）。从1开始按顺时针的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4……这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去。问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？ 分析： 当有 个数时， 那么转一圈擦去一半，剩下 个数，起始数还是1； 再转一圈擦去剩下的一半，又剩下 个数，起始数还是1……转了n圈后，就剩下一个数是1。 当有 （ ）个数时， 那么当擦去d个数时，剩下 个数，此时的第一个数是最后将剩下的数。因为擦去的第d个数是2d，所以2d+1就是最后剩下的整数。 999=2^9+487，最后剩下的一个数是487×2+1=975 例2 1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？ 解：如果有2^n个人，那么报完第1圈后，剩下的是2的倍数号；报完第2圈后，剩下的是2^2的倍数号……报完第n圈后，剩下的是2^n的倍数号，此时，只剩下一人，是2^n号。 如果有（2^n＋d）（1≤d＜2^n）人，那么当有d人退出圈子后还剩下2^n人。因为下一个该退出去的是（2d＋1）号，所以此时的第（2d＋1）号相当于2^n人时的第1号，而2d号相当于2^n人时的第2^n号，所以最后剩下的是第2d号。由1000=2^9＋488知，最后剩下的学生的编号是488×2=976 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？ 分析： N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。 *