初中数学的的思想方法及教学策略(2013.11.16于开封).ppt

一、数学的基本思想 一、数学的基本思想 何为数学思想？ 数学的基本思想，是指数学科学赖以产生、发展的那些思想，是学生领会之后能够终生受益的思想。史宁中《数学思想概论》中指出“数学思想是指数学发展所依赖、所依靠的思想……至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。”虽然在解决具体问题时会涉及等量替换、数形结合等数学思想，但是最上位的思想还是抽象、推理和模型思想. 从数学产生(抽象）、数学内部发展（推理）、数学外部关联（模型）三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想. 数学思想的层次性、多样性 以三个数学的基本思想派生出来的数学思想有很多. 例如由“数学抽象的思想”派生出来的：符号表示的思想，分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等. 如何理解四个常用的概念？ 数学的基本思想 数学思想 数学方法 数学思想方法 数学思想和数学方法 数学思想表现相对宏观，体现的是对数学概念、法则、性质、公式、公理、定理等一系列数学知识的本质产生的更高级、更本质、更概括的理性认识. 数学方法是人们在解决数学问题时，在数学思想的指导下，形成的相对稳定的解决某类数学问题的策略，常常受数学思想的制约，表现相对具体，并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性. 知识是基础，方法是根本，思想是灵魂. 教材中蕴含的数学思想方法 在课程内容和教材中，数学思想是很丰富的，这些思想常常处于潜形态，需要我们教师成为有心人，用心去挖掘蕴含其中的数学思想方法. 使数学思想从潜形态转变为显形态※分类※化归※归纳 一是具体思想方法（技巧型）.这类方法直接用于解题，步骤明确、程序清楚、具有一定的操作步骤.但适用范围小，属于比较基础性的解题方法.如几何中的面积法、割补法、对称法、平移法等；代数中的换元法、配方法、待定系数法等. 三是宏观型思想方法，是一类具体方法的概括，是数学知识内容的精髓，是数学的一种指导思想和普遍适用的方法.包括抽象概括、归纳猜想、数学模型、化归、数形结合等. 它能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题.它能把知识学习和能力培养、智力开发有机地统一起来，是一种高级的数学思想方法. 归纳推理的特点　　①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．　　②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．　　③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 完全归纳法 类比推理的定义　 根据两个（或两类）对象之间在某些关系或性质上相似或相同，从而推演出它们在另外的关系或性质上也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的思维过程　 观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 类比推理的特点：　　①类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧认识为基础，类比出新的结果；　　②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；　　③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．　　④类比推理的一般步骤：　　首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想． 《标准》对符号意识的表述有以下几层意思： 其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律.即对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”. 其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识.这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等. 其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考. 符号化思想的应用 所谓“化归”，从字面上看，应理解为转化和归结的意思. 化归思想就是把待解决的问题A，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择某种转化手段或过程归结到一类已经解决或者比较容易解决(已有确定的解决方法和解题程序）的问题B上去，且通过对问题B的解决，最终求得原问题A之解的一种思想. 1.多元化成一元 2.高次化成低次 3.分式化成整式 4.无理化成有理 5.连续化成离散 6.乘法运算化成加法运算 7.几何问题化成代数问题