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分形理论的方法论 曼德勃罗的跨层次类比 1.曼德勃罗在经济学中的做法 棉花价格随时间变化的曲线 他从这里看到了什么? 尽管每一瞬间的变化都是不可预测的, 大量价格数据也是无序的； 但日变化曲线与月变化曲线相似、月变化曲线与年变化曲线相似 , 年变化曲线与更长时间的变化曲线相似 , 他看到了“ 相似意义上的序 ”， 这是曼德布罗特创立分形几何学的萌芽。 在 不 同 层 次 进 行 类 比 曼德勃罗把 不同层次统一起来，对于股票价格，他也作了类似 的分析。 这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了它。 但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对曼氏的做法自然有反感。 与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非正统观点，但曼德勃罗已得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。 2、曼德勃罗描述传输噪声问题的跨 层 次 思 维 他在国际商用机器公司碰上了自己公司非常关心的一个实际问题。 工程师们被计算机和计算机之间通讯用的电话线中的噪声问题弄得不知所措。 信息是离散地由电流携带的，工程师们知道，电流越强，淹没噪声的效果越好。 但他们发现某种自发噪声怎么也无法消除。它偶尔会抹掉一部分信号，造成误差。 曼德勃罗描述传输噪声问题的跨 层 次 思 维 通过与工程师们交谈，曼德勃罗很快得知有一种关于这类误差的“民间传说”从未被记录下来，因为它和任何一种标准思维方式不匹配： 越仔细观察这些聚群，误差的模式看来就越复杂 工程师们发现： 虽然传输噪声本质上是随机的，但它是以聚群方式出现的： 在无误差通讯的期间后会出现误差期间。 曼德勃罗描述传输噪声问题的跨 层 次 思 维 曼德勃罗提出了一种描述误差分布的方式，它可以准确预言观察到的模式。 他的描述方式是一层一层地深入区分无误差传输和误差转输的期间。 假设先把一天分成小时，可能有一小时无误差地经过，其后一小时中可能有误差。然后又可能有一小时无误差地经过。 假设随后把有误差的一小时分成20分钟的小段。又可以发现完全无误差和带有误差聚群的期间。 曼德勃罗描述传输噪声问题的跨 层 次 思 维 事实上，曼德勃罗论证说，与直觉相反，根本不可能找到一段时间，其中误差是连续散布的。在任何一群误差中，不论时间如何短，总会存在几段完全无误差的传输。 他还发现了误差聚群与无误差传输段之间的几何关系： 无论是在小时或在秒的尺度上，无误差期间与有误差期间之比总是常数． 有一次曼德勃罗吓了一跳，因为一组数据看来与他的方案矛盾.但随即发现，原来工程师们未能记录下来极端的情形，他们假定这些信号是无关紧要的。 曼德勃罗描述传输噪声问题的跨 层 次 思 维 工程师们没有现成的框框来理解曼德轨罗的描述，但数学家们是有的。 实际上曼德勃罗是在重复因19世纪的数学家康托尔而命名的一种抽象构造——康托尔集。 康托尔集剩下些什么呢?由点组成的奇怪的“尘土”，它们排列成聚群，有无穷多个但又无限稀疏。曼德勃罗把传输误差想象成按时间排列的康托尔集。 这种高度抽象的描述对于试图在控制误差的不同战略之间作出决定的科学家们是有实际重要性的。 这表明工程师们不应靠加强信号来淹没越来越多的噪声，而应当采用适当的信号，容忍不可避免的误差，并采用多余信息的战略来发现和改正误差。 曼德勃罗改变了国际商用机器公司的工程师们思考噪声来源的方式。过去一阵一阵的误差总是促使工程师们去查找是否有人又在什么地方插了一柄螺丝刀。但曼德勃罗的尺度变换模式表明，永远不可能在特殊局部事件的基础上把噪声解释清楚。 从分形理论看有限和无限 分形理论通过标度不变性统一了各式各样的病态曲线(如康托三分点集、科赫雪花等) 和千姿百态的非均匀复杂分形(如湍流、凝聚生长等)。 分形理论表达了具有有限时空的分形的无限属性。这是有限和无限辩证统一的典型例证。 分形可以使有限与无限统一。 维数是事物有限与无限的转折点或临界点 当我们观察所使用的尺度的维数与被观察的对象的维数相同时， 我们便看到此对象是有限的； 而当我们观察所使用的尺度的维数小于被观察对象的维数时，我们所看到的便是一个无限的对象。 可以说维数是事物有限与无限的转折点或临界点。 分形可以使有限与无限统一 如此说来，一味地辩论我们的宇宙是有限的还是无限的已没有意义，宇宙本身就是一种客观存在，它的有限与无限全凭我们如何去看它。 由于我们人类生活在宇宙当中，而且，由于客观的物理因素的限制，我们人类的实际观察能力是有限的，一般来讲，是不能超过 3 维来实际观察宇宙的，因为我们很难找到这么高维数的标尺。 如果宇宙本身的空间维数大于 3，哪怕是只大一点点，那么我们观察的宇宙只能无限的了。 分形所追求的 美 之 品 位 对 称 是 美 不 对 称 也 是 美 并不意味着只有