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对分数的多维多元理解及教学建议 刘加霞 在小学阶段 儿童掌握分数的概念感觉并不太难 但奇怪的是 为什么常常有中学生还不理解分数:1/21/3 为什么不等于2/5 呢 为什么除以一个分数等于乘这个分数的倒数呢 为什么分子、分母同时乘以或除以 同一个不等于 0 的数分数的大小不变 事实上 真正理解分数绝不是那么简单 因为对分数应有多维、多元的理解。 一、作为“行为的分数”还是“定义的分数” 一对对的数 例如 12 、52 等 或者短语“二分之一”“五分之二”等并不是分数 它只是代表分数概念的符号或者语言。一般说来 学习分数不能直接从这些符号入手 而是从分数的产生入手。即理解分数首先是从行为 平均分物体 入手 而不是从定义形如 b/a 的数 a≠0入手。只有学生经历并体验了把一个整体平均分为几个部分 所关注的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示之后 才可以给出分数的符号表示 并建立行为与符号之间的一一对应关系。只有经历这样的过程 学生才能逐步地理解分数概念。即学生理解分数是 从行为开始的 这时 是从率的角度来理解分数。 从行为的角度看 除了从平均分认识分数外 测量也是认识分数的重要途径。我们知道 自然数主要用于数个数 即数离散的量的个数当测量连续的量例如物体的长度时 首先需要选定度量单位 数被测量物体中包含多少个度量单位。一般情况下 我们不能数尽 为了得到更准确的值 我们把原来的度量单位分割为更小的度量单位 一般情况下是平均分为十等份 以其中的一份作为新的度量单位 再以更小的度量单位来测量以得到更精确的结果。这时 就可以用分数来表示测量的结果 用不同的单位表示 只不过此时得到的分数不是一般的分数 而是特殊的十进分数 即小数。这是从度量的角度理解分数。度量产生的不是一般的分数 一般的分数产生于解方程或除法运算的结果。 二、借助于多种直观模型理解分数的含义 在小学阶段主要学习“行为的分数”。教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型 建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为两份 其中的一份是 1/2 把一张纸平均分为四份 其中的一份是 1/4 。这仅仅是从面积模型的角度来理解分数 学生理解分数可以借助于多种模型。 1.分数的面积模型: 用面积的“部分——整体”表示分数。 儿童最早接触分数概念及其术语可能与空间有关 而且更多是三维的 而不是二维的 例如半杯牛奶、半个苹果???? 儿童最早是通过 “部分——整体”来认识分数。因此在教材中分数概念的引入是通过平均分某个正方形或者圆 取其中的一份或几份 涂上阴影认识分数的 这些直观模型即为分数的面积模型。 对于平均分 儿童有丰富的经验。皮亚杰等的实验发现: 一些学生能成功地把纸张或扁平泥块通过对折进行剪切或切割。例如: 44.5 岁的儿童能把小的规则图形分成两半 67 岁的儿童能把小的规则图形进行三等分 79 岁的儿童能把小的规则图形通过试错进行六等分 10 岁的儿童能把小的规则图形较精确地进行六等分 如先对半分再三等分。儿童这些丰富的经验为他们认识分数的面积模型 或者从“部分——整体”的角度认识分数打下了坚实的基础。 对于分数的面积模型 在学习过程中学生经常会遇到一些困难例如: 1能否认识到图形面积相等的必要性 即“整体 1”是否一样大。 2是否习惯于由图形语言到符号语言表达的转换。学生初步学习分数时对 分数的特有表示方法不能立即掌握 需要有熟悉、习惯的过程。 3理解大于“整体 1”的分数。 4 从表示多于一个“整体”的图形中确定谁作为“整体”。 例如 对于下面图形 学生的回答往往是 6/8 而不是 6/4 。 这时用面积模型认识分数就带来了困难 分数被理解为表示“单位面积” 关键是哪部分是 “单位面积” 的子面积 被理解为整体的一部分 这就为儿童理解假分数带来了困难。 2.分数的集合模型: 用集合的“子集——全集”来表示分数。 这也是“部分——整体”的一种形式 与分数的面积模型联系密切甚至几乎没有区别 但学生在理解上难度更大。关键是“整体 1”不再真正是“一个整体”了 而是把几个物体看做“一个整体” 作为一个“单位” 所取的一份也不是一个 可能是几个作为一份。例如 在下图中深色长条占全部长条的 3/5 。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力 其核心是把多个物体看做“整体 1”。 分数的集合模型的优点是有利于用比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比”。这时 我们把分数看做是算子 即把分数看做是一个映射。例如 下面深色长条与无色长条之比为 3∶2 或者写为 3/2 。 有研究者认为: 学生对离散量的集合的“部分——整体”的理解 不如对“面积模型”的理解 但随着学生年龄的增长 认知水平的提高 这种差别并不明显。 分数的集合模型的缺点仍然是容易对假分数产生误解 这与面积模型的问题完全一