对变化进行建模(二)（齐）.pptVIP

差分方程方法建模 2、 动力系统的解法 从一个初值开始，并对后面的值迭代充分多次，以确定有关模式。 猜测法 1.观测模式 2.猜测动力系统的形式 3.用代入法来测试该猜测 4.接受或拒绝该猜测取决于代入和代数运算后结果是否满足该动力系统。为了接受猜测，代入的结果必须是恒等式。 线性动力系统：形为an+1=r*an，r为常数 寻找模式 观察序列an+1=ran中的项，有 a1=ra0 a2=ra1=r(ra0)=r2a0 a3=ra2=r(r2a0)=r3a0 猜测 对于k=1,2,3, …,动力系统an+1=ran中的项ak为 ak=rka0 ① 测试结果 将①代入动力系统： an+1=ran rn+1a0=r(rna0)= rn+1a0 结果为一个恒等式，因此接受猜测。 定理1 对r为任何非零常数的线性动力系统an+1=ran ，它的解为ak=rka0 其中a0是给定的初值. P15 例1 再论储蓄存单 储蓄存单一开始有1000美元，每月按结存1﹪付给利息，如果既不存款也不取款，那么10年后，30年后该帐户余额各为多少？ 建立动力系统模型 an+1=1.01*an a0=1000 1.寻找模型 a1=1010.00=1.01*1000 a2=1020.10=1.01*1010=1.01(1.01*1000)=1.012﹡1000 a3=1030.30=1.01*1020.10=1.01(1.012﹡1000)=1.013﹡1000 2.猜测 对于k=1,2,3, …,动力系统an+1=r*an中的项ak为 ak=(1.01)k﹡1000 ② 3.测试猜测 将②代入动力系统： an+1=1.01*an (1.01)n+1﹡1000=1.01*((1.01)n﹡1000)= (1.01)n+1﹡1000 4.结论 动力系统的解为ak=(1.01)k﹡1000 由此10年后： a120=(1.01)120﹡1000 ≈33303.90 30年后： a360=(1.01)360﹡1000 ≈35949.64 练习题 一家污水处理厂通过去掉污水中所有的污染物来处理未经处理的污水，以生产有用的肥料和清洁的水.该处理过程每小时去掉处理池中剩余的污物的12﹪，1天后处理池中将留下百分之几的污物？要多长时间才能把污物的量减一半？要把污物减少为原来的10﹪，要多长时间？ an+1=r*an，r为常数时的长期行为 an+1=r*an的长期行为 r=0 r=1 r0 │r│1 │r│1 常数解以及在0处的平衡点 所有初值都是常数解 振荡 衰减到极限值0 无限增长 无限增长 r1,a00 负的无限增长 r1,a00 衰减 0 r1,a00 衰减 0 r1,a00 振荡增长 r -1,a00 振荡衰减 -1r0,a00 形为an+1=r*an+b，r和b为常数 定义 当a0=a时，如果对所有的k=1,2,3, …,有ak=a，则将数a 称为动力系统an+1=f(an)的平衡点或不动点.即， ak=a是该动力系统的常数解. P21 例3 地高辛处方 地高辛用于治疗心脏，医生开的处方的剂量应能保持血流中地高辛的浓度高于一个有效水平值而又不能超过一个安全水平值. 假定每日开0.1毫克的地高辛剂量处方，并且知道每个剂量周期末还剩留一半地高辛，如何考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛浓度保持在可接受的水平上的剂量处方呢？ 动力系统 an+1=0.5an+0.1 考虑三个初始值a0=0.1, a0=0.2, a0=0.3 绘图比较（MATLAB代码:三个方框中为一个程序） A B C n an an an 8 9 10 11 12 13 14 15 0.199 609 38 0.199 804 69 0.199 902 34 0.199 951 17 0.199 975 59 0.19