中学生在数学审题中常犯错误.docVIP

中学生在数学审题中常犯错误中学生在解数学题时错误类型，可大致分为以下几类：⑴知识点定义、概念或原理混淆，尤其是概念实质模糊和相似相近概念的混淆引发的数学错误；⑵推理无据，包括由于滥用法则、循环论证或臆造定理等导致数学解题出现错误的现象；⑶忽视概念或约束条件中的隐含条件、定理适用范围等命题条件形成的错误；⑷学生因知识点掌握不够全面、细致或解题考虑不周等引起的错误，尤为典型的是以偏概全、忽视特例以及审题不当等导致的错误。下面就选择两种较常见的情况进行说明： 一、轨迹方程中未考虑“完备性”与“纯粹性”导致错误 轨迹是适合某种条件的所有点组成的图形，这种条件的代数式就是曲线的方程，求曲线的方程是解析几何的重点内容之一。但是，在其求解的过程中，往往会出现这样那样的错误，尤其是没有考虑到“完备性”与“纯粹性”而导致的错误。如下题： 例1：过定点A(2，0)的直线与抛物线y＝x2交于不同两点M，N，求线段MN中点的轨迹方程。 错解：由题意，列方程组消去y，整理得x2－kx＋2k＝0 设P（x，y）是轨迹上任意一点，M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则有 x＝，x1＋x2＝k ∴x＝ 又∵点P在直线y＝k（x－2）上 ∴y＝k（－2k）消去k后可得：y＝2x2－4x ∴所求的轨迹方程为y＝2x2－4x 说明：上述错误解法在于没有考虑未知数的隐含条件，既然直线y＝k（x－2）与抛物线y＝x2交于不同的两点M，N，那么方程x2－kx＋2k＝0的判别式应该大于零，而解题中恰恰忽视了这一点。正确答案应是y＝2x2－4x（x＜0或x＞4）。所以，在求轨迹方程时，要特别注意轨迹的“纯粹性”与“完备性”的统一，即不“杂”不“漏”，而“杂”和“漏”往往又是求轨迹方程的常见病，本例错解犯了“杂”的毛病。防止“杂”和“漏”的办法是首先要用足条件，特别要注意挖掘隐含条件。 二、概率求解中未仔细区分“有序”还是“无序”导致的错误 概率是高中数学新课标新增加的内容，也是排列、组合知识的应用及其延伸。同学们在学习过程中普遍感觉概率问题比较抽象、难以理解。在解题过程中，同学们也往往因为概念理解不透、审题不严、考虑不周或忽视公式成立的条件等等而出现错误。 三、导数的应用中忽略了“过某点的切线”与“在某点的切线”的区别导致的错误 导数作为一种工具，在求函数的单调性、最值和切线线等问题时提供了极大的方便，但在解题时如未仔细审题容易出现以下错误。 例2：求过曲线y＝x3＋2x上一点（1，3）的切线方程。 错解：y′＝3x2＋2 ∴k＝y′|x＝1＝5 ∴切线为y－3＝5（x－1）即5x－y－2＝0 剖析：求切线方程的斜率时应注意点是否在曲线上。 设切点为（x0，x03＋2x0） ∴k＝f′（x0）＝3x0＋2 ∴3x03+2＝，即（x0－1）2(2x0+1)=0 ∴x0＝1或x0＝- ∴切线方程为：5x－y－2＝0或11x－4y＋1＝0 点评：过某点的切线中，该点不一定为切点，在某点处有切线，则该点一定为切点。 高中数学审题中常见的错误还有很多，不过只要在解数学题题时做到“耐心、细心、用心”，特别是对文字较长的题目，一定要杜绝急躁――眼睛一扫而过，常会造成审题错误，看到文字题很烦躁，不能静心而为，这是当前学生的通病。仔细审题看清每一句话、每一个字，获取完整的信息，这是解题正确的基础。在此基础上用心考虑这些信息与头脑中已有知识的联系，将问题归类，选择适当的方法解决问题。这需要用心思考，如此才能保证解题思路的流畅，减少不必要的扣分。 1