第二章对偶理论及灵敏度分析练习题答案.docVIP

第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(?) (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；(?) (3) 设，分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，，分别为其最优解，则恒有；(?) (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；(?) (5) 已知为线性规划的对偶问题的最优解，若，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽；(?) (6) 已知为线性规划的对偶问题的最优解，若，说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余；(?) (7) 若某种资源的影子价格等于k，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；(?) (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，又xi所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(?) (9) 若线性规划问题中的bi，cj值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；(?) (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数cj或在各约束中的相应系数aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。(?) 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x4、x5为松弛变量。 XB ｂ x1 x2 x3 x4 x5 x3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 x1 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 σj 0 -4 0 -4 -2 要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价2.5购入第一种资源是否值得，为什么？若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么？ 答案： (1)注：该问题得解法非唯一，以下解法只是其中一种（各解法原理相同）。 由题意已知原线性规划问题目标函数为Max（因σj≤0为最优），且c4、c5为0（松弛变量目标函数系数为0）。 根据知：，得： 根据，得： 则原线性规划问题的数学模型为： 其对偶问题的数学模型为： (2)直接由表写出对偶问题得最优解为： (3)令原解，得?br的变化范围为： ，其中：。则： ，即，则 (4)以单价2.5购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即2.54），可盈利；第二种资源应要价至少为2（影子价格），否则不如自己组织生产。