斐波那契数列及黄金分割.docVIP

斐波那契数列 HYPERLINK /picview/816/816/0/a08b87d6277f9e2f7c63b4cf1f30e924b999f3a7.html 斐波那契数列 斐波纳契HYPERLINK /view/39749.htm数列，又称HYPERLINK /view/1816.htm黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在HYPERLINK /view/1284.htm数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，HYPERLINK /view/2398.htm美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个HYPERLINK /view/39749.htm数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契HYPERLINK /view/39749.htm数列的发明者，是HYPERLINK /view/3784.htm意大利数学家HYPERLINK /view/1108082.htm列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）， HYPERLINK /picview/816/816/0/d439b6003af33a87e4177a3dc7559a.html 自然中的斐波那契数列 生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是HYPERLINK /view/69954.htm比萨。他被人称作“比萨的HYPERLINK /view/1837053.htm列昂纳多”。1202年，他HYPERLINK /view/89726.htm撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了HYPERLINK /view/2174.htm印度和HYPERLINK /view/96268.htm阿拉伯数学理论的HYPERLINK /view/3622.htm欧洲人。他的父亲被HYPERLINK /view/69954.htm比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的HYPERLINK /view/10991.htm阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个HYPERLINK /view/96268.htm阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在HYPERLINK /view/4387.htm埃及、HYPERLINK /view/7851.htm叙利亚、HYPERLINK /view/6744.htm希腊、HYPERLINK /view/58383.htm西西里和HYPERLINK /view/16831.htm普罗旺斯研究HYPERLINK /view/1284.htm数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式： F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)， 显然这是一个HYPERLINK /view/300474.htm线性递推数列。 通项公式 HYPERLINK /picview/816/816/0/148f28d390c1b6333bf3cf08.html 斐波那契数列通项公式 （见上图）（又叫“比内公式”，是用HYPERLINK /view/1167.htm无理数表示HYPERLINK /view/1197.htm有理数的一个范例。） 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n=3,n∈N*） 通项公式的推导 方法一：利用特征方程（线性代数解法） HYPERLINK /view/300474.htm线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 ∵F⑴=F⑵=1。 ∴C1*X1 + C2*X2。 C1*X1^2 + C2*X2^2。 解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 ∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示HYPERLINK /view/654104.htm根号5）。 方法二：HYPERLINK /view/161511.htm待定系数法构造HYPERLINK /view/62282.htm等比数列1（初等代数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1， -rs=1。 n≥