齐次状态方程的解-青岛理工大学.PPTVIP

（2） A的特征根 两两相异，类似上面步骤可得： 求解以上方程组即得式（2）。 例：求以下矩阵A的状态转移矩阵 解： 1）用标准型法求解： 得： ，具有互异特征根，用对角线标准型法。 先求特征值： 2）用凯莱—哈密顿定理求解： 由上步已知特征根互异为 则有： 故： 2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解 积分法求解 现代控制理论 青岛理工大学自动化工程学院 2014-09-10 第二章 控制系统状态空间表达式的解 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 矩阵指数函数——状态转移矩阵 线性定常系统非齐次状态方程的解 本章主要内容： 2.1 线性定常齐次状态方程的解 2.1.1 线性定常系统的运动 1）自由运动（零输入响应）：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。 2）强迫运动（零初态响应）：线性定常系统在只有输入作用而无初始状态作用下的运动，称为强迫运动。 齐次状态方程： 其解即为自由解。 非齐次状态方程： 其解为自由运动和强迫运动之和。 2.1.2、齐次状态方程的解： 指数函数： 启发：一阶标量微分方程 状态方程 求 仿照标量 微分方程： 向量 代入微分方程： 对 求导： 比较以上两式系数有： 矩阵指数函数 结论：考虑齐次状态方程 ， 若初始状态为 其解为： 若 其解为 矩阵指数 把系统的状态 转移到 ，也把它称为 状态转移矩阵，记为 。 是一般的表示形式 2.2 状态转移矩阵 线性定常系统的齐次状态方程的解： 令： 则有： 2.2.1、状态转移矩阵的含义 状态转移矩阵 注1：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数。 注2：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵 2.2.2、状态转移矩阵的性质 （1）状态转移矩阵初始条件： 也即： 意为状态向量从时刻 转移到 ，显然保持不变。 （2）组合性： 可视为从 到 ，再从 到 的组合，即： （3）可逆性： 由（1）， 由（2）， 可依此计算0时刻的状态值 （4） （5） 证明： 例：已知状态转移矩阵，求 解：可逆性 性质4 2.2.3、几个特殊的矩阵指数函数 （1）设 ，即A为对角阵时，有 （2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即 证明： 则有 （3）设A为 约当阵，即 2.2.4、状态转移矩阵的计算 直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换法 应用凯莱—哈密顿定理求解 适合于计算机求解。 直接求解： 例：求解系统状态方程 解：首先求解状态转移矩阵 思路： 对A进行非奇异线性变换，得到： 得到： 标准形式： 对角矩阵、约当矩阵 标准型法求解： 其中： P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。 （1） 求状态转移矩阵的步骤： 1） 先求得A阵的特征值 。 2） 求对应于 的特征向量 ，并得到P阵及P的逆阵。 3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。 为对角矩阵，A的特征值两两相异 解: 1) 特征值 例：已知矩阵 试计算状态转移矩阵 2) 计算特征向量： 3) 构造变换阵P： 则有： （2） 为约当标准型，A具有n重特征根 其中： P为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。 求状态转移矩阵的步骤： 此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵P。 注：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得 。 例 已知矩阵 试计算状态转移矩阵 解: 1) 特征值 2)计算特征向量和广义特征向量。 3)计算状态转移矩阵： 齐次状态方程： 两边取拉氏变换得： 整理得： 拉氏反变换得： 拉氏反变换法求解： 例 用拉氏反变换法计算状态转移矩阵： 解：