一个优美的圆锥曲线的性质.docVIP

圆锥曲线的一个优美性质 南京市金陵中学 宋辉 圆锥曲线性质的大花园中,繁花似锦,景色怡人.笔者近日在大花园中发现了一朵美丽的小花,下面让我们来共同欣赏. 定理1设A、B是过抛物线y2＝2p x焦点的弦 的两个端点，A、B与顶点O的连线分别交抛物线 的准线于M、N两点，则 · 为定值. 证明：设A（2t, 2p t1），B（2t, 2p t2）则A、B的方程分别为y＝ x y＝ x AO、Bx＝－的交点分别为M（－，－）、N（－，－）. · ＝（－）·（－）＋（－）·（－）＝ ＋ . ∵A、B、F 三点共线， 即 ＝ ， 化简得：t1t2 ＝ － · ＝ － p2，即 · 是定值. 定理2设A、B是过椭圆 ＋ ＝1（ab0） 右焦点的弦的两个端点，P是椭圆的左顶点，PA、PB 分别交椭圆的右准线于M、N两点，则 · 为定值. 证明：设A（α, bsin α）B（β, bsin β）（x＋a）， y＝（x＋a）. 则直线PA、PB与椭圆的右准线的交点坐标分别为M（，y1），N（，y2）. y1 ＝（＋a）， y2 ＝（＋a）. y1 y2 ＝ · ＝ · ＝ tan tan · . ∵AB的连线过焦点， ∴ ＝ ， 即a sin（α－β）＝ c（sin α－sin β）， 得a cos ＝ c cos ， 即tan tan ＝ . · ＝（ ＋a）2＋ y1 y2 ＝（ ＋a）2＋ tan tan · ＝ （ ＋a）2＋ · · ＝ . 即 · 是定值. 定理3设A、B是过双曲线 － ＝1右焦点 且与双曲线右支相交的弦的两个端点，P是双曲线 的左顶点， PA、PB分别交双曲线的右准线于M、N 两点，则 · 为定值. 证明：设A（α，btan α）B（β，btan β）（x＋a）， y ＝ （x＋a）. 则直线PA、PB与双曲线右准线的交点坐标分别为M（，y1），N（，y2）. y1 ＝ （＋a）, y2 ＝ （＋a）. y1 y2 ＝ · ＝ · ＝ · ＝ tan tan · . ∵AB的连线过焦点，∴ ＝ ， ∴a（sin α－sin β）＝c sin（α－β）， 得 ＝ ＝ ＝ ＝ . ∴tan tan ＝ . · ＝（ ＋a）2＋ y1 y2 ＝（ ＋a）2＋ tan tan · ＝ （ ＋a）2＋ · · ＝ . 即 · 是定值. 通讯地址 南京市金陵中学 E－mail songhuijln666@126.com 邮 编 210005 电 话 2 O y x A B N M F 图1 O y x F A B P M N 图3 O y x P F B A M N 图2