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实验四 控制系统数字仿真 实验目的 通过本实验掌握利用四阶龙格—库塔法进行控制系统数字仿真真的方法，并分系统参数改变对系统性能的影响。 二、实验方法 1.四阶龙格—库塔法 如果微分方程是如下形式的向量微分方程： 若微分方程是如下形式的向量微分方程： 其中为m维向量，t，u(t)均为标量，则在处应有如下表达式： 式中： n=0,1,2,3…… 2.控制系统的数字仿真 设系统的闭环传递函数为： 则通过中间变量替换，可将上式化为如下形式： 这里X(t)为n维列向量，u(t)为标量，A为常数矩阵，b为n维列向量，c为n维行向量，并分别具有如下形式： 对比上述方程组可得： 三、实验内容： 已知系统结构如图： 则系统的闭环传递函数为： 求K的过程： 作根轨迹图，可知有三条根轨迹，实轴上（-∞，-5），（-5，0）为根轨迹段。 渐近线夹角与坐标满足φ=（2k+1）π/(n-m)={-60°，60°，180°} σ=(-5-5)/3=-10/3 分离点坐标d满足2/(d+5)+1/d=0,d=-5/3(取在根轨迹上的点) 与虚轴交点ω： 令s=jw代入上式 解得 系统根轨迹如下图所示： 已知，因此可求出不同情况下对应的值，而在根轨迹上做一条直线，与负实轴夹角满足，可通过MATLAB提供的功能找到交点的坐标，再由模值即可求出此时对应的K值。 5 25 50 00.403712752 0.215453761 466677 直线斜率 -1.048689391 -2.266180068 -4.532360163 交点实部 -1.41 -1.114 -0.7456 交点虚部 1.58 2.623 3.516 K 3262109.4867342 阶跃响应曲线： 超调量为5%时： 超调量为为25%时： 超调量为50%时： 仿真结果： 5 25 50 5.56 25.29 48.56 调节时间 2.383 2.84 3.943 K 3262109.4867342 通过程序找到精确的K 31.7291 62.15 112.9867 四、程序清单（MATLAB程序）： 库塔龙格仿真程序： function y=RK(K) h=0.001;//h为步长 ss=1; ts=0; A=[0 1 0;0 0 1;-K -25 -10]; b=[0 0 1]; c=[K 0 0]; X=[0 0 0]; Z=[0 0 0]; yy=zeros(10000,1); t=0:0.001:10; for i=1:10000 k1=A*X+b; k2=A*X+b+h*k1/2; k3=A*X+b+h*k2/2; k4=A*X+b+h*k3; Z=X+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; X=Z; y(i)=c*X; end ss=max(yy)-1;//ss为超调量 ts=max(t(find(abs(y-1)0.05)));//ts为调节时间 end 寻找精确K值的程序： 思路：通过已经估算的K值，在其邻域内，每隔0.01有哪些信誉好的足球投注网站一次，将得到的结果与需要的超调量对比，找到差值最小的点即为精确的K值。 function d=ff(K) i=1:600; a=ones(600,1); b=ones(600,1); for i=1:600 a(i)=K+(i-300)/100; end for j=1:600 b(j)=RK(a(j)); end d=b-0.05;//0.05为第一种情况下的超调量 end 五、实验感想及建议 龙格—库塔法是数值分析中常常使用到的解常微分方程的算法，根据不同的阶数具体形式不同，本实验中采用的是四阶的算法。在MATLAB中已经有相应的语句能够实现，但是通过编程能够更深入的理解算法的含义，也对于计算机怎样实现数字系统仿真有了更深的认识。 MATLAB作为矩阵工具箱，在描述微分方程组的算法上优势很大，由于能够直接对矩阵进行数学运算，使得程序代码很短，且执行效率很高，即使步长很小，也能够迅速得到结果，并且给出相应的曲线。MATLAB在数字仿真中的作用从这个实验可见一斑，无论是在今后的学习或是相应的研究工作中，MATLAB都是不可或缺的软件平台。 - 6 -