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第二章 随机过程的概念和基本类型 2.1 随机过程的基本概念 随机过程是随机数学一个十分广泛的分支，它研究的是客观世界中随机现象演变过程的统计规律性.随机过程理论不仅广泛应用于自然科学的各个领域（例如物理学、生物学、电子技术等），而且在社会科学的许多领域也日益受到重视. 我们都知道，初等概率论的主要研究对象是随机现象，可以用一个或有限个随机变量来描述随机试验所产生的随机现象.但是，随着科学技术的不断发展，我们必须对一些随机现象的过程进行研究，也就是要考虑无穷多个随机变量，而且解决问题的出发点不是随机变量的独立样本，而是无穷个随机变量的一次具体观测.这时，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律，这种随机变量簇就是随机过程. 下面先考察几个例子. 例2.1 某人不断地掷一颗骰子，设表示第次掷骰子时出现的点数，，对于任意一个，在第次掷骰子前不知道试验的结果会出现几点，因此，是一个随机变量.这样，随机现象可以用一簇随机变量来描述. 例2.2 设表示某流水线从开工（）到时刻为止的累计次品数，在开工前不知道时刻的累计次品数将有多少，因此，是一个随机变量，假设流水线不断工作，随机现象可以用一簇随机变量来描述. 例2.3 在天气预报中，若以表示某地区第次统计所得到的该天最高气温，则是一个随机变量，为了预报未来该地区的气温，我们必须用一簇随机变量来描述它的统计规律性. 例2.4 在海浪分析中，需要观测某固定点海平面的垂直振动，设表示在时刻该点海平面相对于平均海平面的高度，则是一个随机变量，我们可以用一簇随机变量来描述它的统计规律性. 上述例子的共同点是，不是静止地研究某种随机现象，从而研究个别随机变量，而是动态地关心某种随机现象如何随时间变化而发展的，也就是说，需要研究许多随机变量组成的一簇随机变量.一般地，这簇随机变量包含无限多个随机变量，如果这簇随机变量包含有限多个随机变量（例如例2.1），那么，这类问题用初等概率论中多维随机变量来解决.一簇随机变量描述了随机现象的变化发展过程. 为了更深入地研究随机过程的相关性质，我们先给出随机过程的一般定义. 定义2.1 设F，是一概率空间，是给定的参数，若对于任意，有一个随机变量与之对应，则称随机变量簇是F，上的随机过程(),简记为随机过程，在不致引起混淆的情况下，也可记为.为参数集（或指标集），通常表示时间，为参数（或指标）. 需要说明的是：上述定义中的参数集可以是时间集，也可以是长度、重量、速度等物理量的集合，随机过程本来通称随机函数，当参数集是时间集时称为随机过程，但现在将参数集不是时间集的随机函数也称随机过程，对参数集不再有时间限制. 在例2.1中，，在例, 例和例中，一般地，如果由有限多个或可列无限个元素组成的集合，则称为离散时间（或离散参数）的随机过程，例2.1是离散时间的随机过程，当为有限集时，就是概率论中多维随机变量；如果是一区间，则称为连续时间（或连续参数）的随机过程，例2.2, 例2.3 和例2.4都是连续时间的随机过程. 从数学的角度看，随机过程是定义在上的二元函数，对固定的，是F，）上的随机变量，随机变量所取的值称为随机过程在时刻所处的状态()，随机过程所有随机变量的全体称为随机过程的状态空间()，记为；对固定，是定义在上的函数，称为随机过程的一个样本函数（ ）或轨道（），样本函数的全体称为样本函数空间. 在例2.1中，；在例2.2中，；在例2.3中，，在例2.4中.不难看出，在上述例子中，把状态空间作适当扩大，仅仅是为了数学上处理的方便，如果是由有限个或可列无限个元素组成的集合，则称为离散状态的随机过程，例2.1和例2.2都是离散状态的随机过程；如果是一个区间，则称为连续状态的随机过程，例2.3和例2.4都是连续状态的随机过程. 现将这一分类列表如下： 表2-1随机过程的分类 状态空间 参数集 离散 连续 连续 连续参数链 随机过程 离散 离散参数链 随机序列 随机过程的分类，除了按照参数集和状态集是否可列外，还可以进一步根据过程之间的概率关系进行分类，如独立增量过程、过程、过程、平稳过程、鞅过程等. 2.2 随机过程的分布 概率论基本内容之一是研究随机变量的分布，随机变量的分布刻画了随机变量的统计规律，分布的表现形式是分布函数（或离散型随机变量的概率函数，或连续型随机变量的概率密度）.我们知道，随机过程由一簇随机变量组成，当参数集为有限集时，随机过程由有限个随机变量组成，它本质上与概率论中的多维随机变量相同，可以用多维随机变量的分布函数（或概率函数，或密度函数）来表示随机过程的分布；当为无限集时，也可以借助有限个随机变量的联合分布来刻画随机过程的分布. 对于任意一个, 是一维随机变量，其分布函数为 称为随机过程的一