sars的数学模型与分析.docVIP

SARS的数学模型与分析 张小五 牛双建 王冬梅 指导教师：平顶山工学院数学建模辅导小组 摘要：本文研究了SARS疫情的预测问题。目的是建立数学模型反映SARS疫情的传播规律，在此情况上预测了SARS疫情的发展趋势和对经济的影响。本文首先就附件1的数学模型进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。从这个模型我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的SARS模型：指数模型，Logistic模型，SIR模型。主要采用数据拟合的方法来确定模型中的参数。 对指数模型我们只作了一些定性的分析，重点讨论了Logistic模型，SIR模型。Logistic模型我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析。最后简要讨论了提前或延迟5天进行隔离对病情的影响。 模型（二）中我们先将函数反映到图形上，并结合图表对香港、北京两地的SARS疫情发展进行直观比较，得到了一些合理且有实用参考价值的数据。同时我们在建模过程中也遇到了一系列困难，对图表的分析能力不够，缺乏详细的流行病学方面的知识，很多参数的确定没经验概念，只能通过定性分析，简单假设，已知数据的拟合得到。 对问题3，SARS对旅游业的影响，我们把原来离散的时间（天）看成连续变量，从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素，建立常微分方程模型。 最后简要写了一篇给当地报社的短文，意在阐述建立传染病模型的重要性。 关键词：SARS 指数模型 　Logistic模型 SIR模型　曲线拟合 一、评价早期模型的合理性和实用性 附件一提供的模型中参数K和L具有比较明显的实际意义, 在参数的范围控制上比较合理。在程序设计过程中,K值的确定考虑到与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,采用不同阶段不同取值的方法,很好地描述了这一现象。 其次该模型在已有数据的基础上拟合程度比较好，合理地反映了这一阶段香港疫情的实际情况。可以根据它的拟合曲线来预测近期内的病情走势，为政府和医疗机构提供一定的信息依据，使得他们能够对病人进行及时的管理和治疗，从而降低病毒在社会上的蔓延程度。 另外该模型具有广泛的适用性。它对不同地区的数据进行了仔细的对照分析，得出不同的统计结果，做到了具体问题具体分析的原则，使得我们可以对不同地区进行病情分析和预测。当然，该模型也有一些不足之处。例如文中所述，到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整值到比较小，这个时间就缺乏理论依据，减小了可信度。但由于SARS传播系统是一个非线性的动态反馈复杂系统，做一些简化的假设和近似是必要的，因而该模型有一定的实用性，不能完全否定。 下面我们建立自己的模型。 二、 新模型的建立 1).附件2的数据处理 观察分析“已确诊病例累积”一栏的数据，6月6日：2522，6月7日：2523，6月8日：2522，这说明6月7日有误诊一例，实际确诊病例累计应为2522。再看6月11日：2523，6月12日：2523，6月13日：2522，说明6月11日有误诊一例，6月11日、12日的实际确诊病例应为2522。同样分析其他数据，我们可知5月31日到6月23日的实际确诊累计病例都为2521为此我们以下计算模拟都采用附件2经过处理后的数据。 2).总体假设： 1.SARS所有可能的传播途径视为与病源的直接接触。 2.根据SARS的疾病传播期内，所考察的地区总人口视为常数。 3).根据SARS的特点建立如下3个逐步完善的模型。 模型1——指数模型 1.符号说明： N：累计确诊病例数 K: 平均每个病人每天可传染的人数，即病例的相对增加率。 t：时间 ：表示=0时刻患病人数 2．模型的假设：K是常数 3. 模型的建立 设天内病例增加，则每天的病例增加数： 则 K= …………………………………… (1) 由（1）得到 解得 N(t)=Ne ……………………………………(2) 将t以天为单位离散化，（2）式表明N以e为公比的等比数列增长，又K远远小于1，因此e1+K． 则可将（2）式写成N(t) N(1+K)． 因此附件1所给出模型的数学表达只不过是该指数增长模型的近似表示。 　　4.模型的分析 　　取4月20日以前的数据进行拟合，确定参数N、K ，代入（2），做出N(t)=Ne 的图像。考虑到我们建模的重点，在此我们不进行具体拟合，作图。但该模型的意义是明确的。 　　若在同一图中描出4月20日以前公布的累计确诊病例数，两者进行比较，这样可看出4月20日以前的数据是否有瞒报，缓报，漏报；若该模型在传染病初期就被建立，从函数的曲线上便可知呈现疫情爆发的大致时间，可及时控制疫情。也就是说该模型能为