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第六章 定积分的应用学习指导 一、基本内容 （一）微元法 根据问题的具体情况选取积分变量及变化区间，再小区间。求出部分量的近似值的积分元素，从而求出所求量。 （二）平面图形的面积 1．由平面曲线，直线，和所围图形的面积： 。 2．由平面曲线，和直线，所转图形的面积： 。 3．由极坐标曲线， 、转的图形的面积： 。 4．由参数方程，给出的曲线和直线，，所围图形的面积： 。 （三）体积 1．由曲线和直线，，所围图形绕轴旋转一周所得旋转体体积： 。 2．由曲线和直线，，所围图形绕轴旋转一周所得旋转体积： 。 3．垂直于轴的平行截面面积为的函数的立体的体积： 。 （四）平面曲线的弧长 1．直角坐标曲线： 。 2．参数方程曲线，，： 。 3．极坐标曲线，： 。 （五）定积分在物理上的应用 对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。 二、基本要求 1．掌握利用定积分求解问题的基本方法——微元法。 2．会用定积分计算一些平图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。 3．能利用定积分解决有关数学和物理上的一些问题。 三、重点和难点 重点：用定积分求解的方法——微元法，计算平面图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。 难点：用微元法解决有关问题。 四、注意的问题 本章的学习应注意在掌握微元法上下功夫，掌握了微元法，有关公式的掌握和证明就轻而易举了。 五、典型例下题 例1：计算抛物组与直线所围图形的面积。 解：作出图形，求交点坐标： 解方程组：， 得交点坐标，。 此图形可看成由，及和围成，选择为积分变量较为方便（原则系分区间积分）应用公式的所求面积为： 。 例2：求椭圆所围成的图形面积。 解：椭圆关于两坐标轴均对称，故面积为，其中为该椭圆在第一象限部分与坐标辆所围图形的面积。 利用参数方程，，在第一象限，于是所求面积为： 当时，得圆的面积。 例3：求曲线及直线，()所围图形绕轴、轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：作出图形，求解交点： 解方程组： 得交点坐标。 从而可求的绕辆和绕轴旋转所得的旋转体体系和 。 注：求体积进常需进行适当的公解或组合。 例4：求摆线的弧长。 解：∵ 于是所求弧长 例5：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解：建立坐标如图 上过轴上坐标为的点且与轴垂直的平面截立体得截面。易知面积 从而所求体积： 。 例6：一倒圆锥形容器，高为，底半径，容器内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出需作功多少？ 解：作轴截面图如图，取积分变量积分区间为。 ，取小区间相应于此小区间这一薄层水的高度为水的比重为，因此的单位为米。这薄层水的重量为 （这里是三角形的所此求的）。 故这薄层水吸容器外需作为微功为： 于是所求的功为： (KJ) 第七章 空间解析几何与向量代数 在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准备。 重点：曲面方程，曲线方程 难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。 （一） 1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当，，的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。 2．空间向量可以从两个途径来认识： ①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：，等。 ②可由向量的坐标来把握向量。必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设的始点的坐标分别为，，则，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系： ，，。因此，若确定了向量的坐标，则这个向