高中数学简化分类讨论九种策略.docVIP

高中数学简化分类讨论九种策略分类讨论既是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略，它可以把整体化为局部，把复杂的问题化为单一的问题，各个击破．但分类讨论一般过程较为冗长，叙述烦琐，因此并非都是解决问题的良策. 在学习过程中，我们在体会分类讨论思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能避免分类讨论. 下面结合一些具体的实例，谈谈简化分类讨论的若干策略． 策略1　釜底抽薪，消去参数 例1 设0＜x＜1，a＞0，且a≠1，试比较loga（1-x） 与loga（1+x） 的大小. 解：∵0＜x＜1，∴0＜1+x＜，于是 =log （1+x）（1-x）=-log （1+x）（1-x） =log（1+x）＞log （1+x）（1+x）=1 ，故loga（1-x） loga（1+x） ． 点评：若按常规方法考虑去掉绝对值符号，则应分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，运用对数的换底公式巧妙地消去了参数，避免了分类讨论． 策略2　着眼全局，整体换元 例2 求 y=sinx+cosx+sin2x （-π≤x≤0）的最值． 解：令sinx+cosx=t，则sin2x=（sinx+cosx）2-1=t2-1， 于是 y=t2+t-1=（t+）2-，又t=sinx+cosx=sin（x+），-π≤x≤0，故-π≤x+≤， ∴-1≤sin（x+）≤，∴-≤t≤1. 故y的最小值为-，y的最大值为1． 点评：本题若以sinx为变量，则用平方关系表示cosx时，开方后需分两种情况讨论，计算量大，充分考虑到sinx+cosx与sinx?cosx的内在关系，从整体上着眼解题，采用换元法显得简单． 策略3　别具匠心，反客为主 例3 已知k∈R，试求出关于的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0所有可能的整数根． 解：将原方程整理为二次方程：k2+2（1-x2）k+（x4-3）=0，因k为实数，故Δ=4（1-x2）-4（x2-3）≥0，即-x2+2≥0，故-≤x≤，故x=-1、0、1． 点评：本题若按常法先通过解关于x2的一元二次方程求出x2再开方用k来表示x，不但计算量大而且需讨论的情形多，反客为主的方法耐人寻味，简直妙不可言！ 策略4　正难则反，对立思考 例4 投掷两个骰子，至少出现一个1点或2点的概率为________． 解：设“两个骰子至少出现一个1点或2点”为事件A，A的对立事件是“两个骰子既不出现1点也不出现2点”，易知P=（）=×=，故P（A）=1-P（）=1-=． 点评：若从正面求解，则需分五种情况讨论，即“恰好出现一个2点而没有1点”、“ 恰好出现一个1点而没有2点”、 “恰好出现一个1点和一个2点”、“恰好出现两个1点”、“恰好出现两个2点”，解答起来较为烦琐，从反面思考仅有一种情况，无需讨论． 策略5　瞒天过海，整体变形 例5 已知sin2α=m，cos2α=n（n≠0），求tan（+α）的值． 解：tan（+α）=tan===． 点评：若按一般方法先求出tan 2α，再利用正切的二倍角公式得到关于tan α的一元二次方程，求出tan α的值有两个，接下来需分类讨论，中间的计算结果也比较复杂． 策略6　一招制胜 参变分离 例6 （2012年黄冈检测） 已知方程x3-3ax+2=0只有一个实数根，a的取值范围是_____． 解：x=0显然不是方程的根，当x≠0时，由x3-3ax+2=0得3a=x2+，令g（x）=x2+，则g′（x）=2x-=，显然x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；又g（1）=1，x→-∞时，易知g（x）的图象如图所示；若直线y=a与y=g（x）只有一个交点，显然a＜0． 点评：此题的常规解法是直接画y=x3-3ax+2的图象，研究其与x轴的交点，解答过程要分a≤0和a＞0两种情况进行讨论，学生往往因思考不全面而出错，而采用参变分离，将问题转化为“动直线”与“定曲线”的交点问题，解答起来很方便． 策略7　直观形象，数形结合 例7 （2010年湖北高考理科第9题）若直线y=x+b与曲线y=3-3-有公共点，则b的取值范围是（ ）． A．[-1，1+2] B．[1-2，1+2] C．[1-2，3] D．[1-，3] 解：由y=3-，得（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3），则函数对应的图象为以（2，3）为圆心，2为半径的下半圆，则半圆与轴的切点为A（0，3），当直线y=x+b过点A