反比函数图像上四种三角形的面积知识点分析人教版.docVIP

反比函数图像上四种三角形的面积 反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 一、三角形面积的四个结论 结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。 如图1所示， 设P（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点P作PA⊥x轴，垂足为A， 三角形PAO的面积是S，则|k|=2S。 结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。 如图2所示， 设P（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点P作PB⊥y轴，垂足为B， 三角形PBO的面积是S，则|k|=2S。 结论3、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图3所示。 证明1： 因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与 反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点， 所以，，所以，x=±， 当x=时，y= k1x=，所以，点A的坐标是（，）， 当x=-时，y= k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-）， 所以，OC的长度是， 三角形ABC 的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积 =×OC×AC+×OC×BD =××+××|-| =k+k=k。所以，与k1无关。 证明2、 根据结论1，知道三角形AOC的面积是k， 三角形BOC的面积=×OC×BD××|-|=k， 所以，三角形ABC 的面积= k。 结论4、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，过B点作BC⊥y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图4所示。 因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与 反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点， 所以，，所以，x=±， 当x=时，y= k1x=，所以，点A的坐标是（，）， 当x=-时，y= k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-）， 所以，OC的长度是， 三角形ABC 的面积=三角形AOE的面积+三角形BOD的面积+矩形ODCE的面积 =×OE譇E+A譕D譈D+OD譊C =面积=??+讄-譈|讄-D|+讄--| =k+k+k=2k。所以，与k1无关。 二、结论的具体应用 这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。 例1、如图5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 ．（08年巴中市） 分析：根据结论1，知道面积S与k之间有如下的关系： |k |=2S，S=3， 所以，|k |=6， 所以，k=6或者k=-6， 因为图像分布在二、四象限， 所以，k＜0，所以 k=-6. 解：-6. 例2、两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象，如图6所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论： △ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市） 分析： 因为，点A、B都在反比例函数y=的图像上，根据结论1和结论2，知道; ODB与△OCA的面积相等,所以，①是正确的； 如图7所示，连接OP， 根据结论1知道，三角形POC的面积为k，是个常数，三角形OAC的面积是， 所以，三角形PAO的面积是k-，是个常数， 根据结论2知道，三角形POD的面积为k，是个常数，三角形OBD的面积是， 所以，三角形PBO的面积是k-，是个常数， 所以，四边形PBOA的面积等于三角形PAO的面积+三角形PBO的面积=k-+k- =k-1，是一个定值，所以②是正确的； 设点P的坐标为（m，n）， 因为，点P在的图象上，反比例函数在第一象限内， 所以，mn=k，m＞0，n＞0， 因为，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A， 所以，点A的横坐标为m，所以，点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）； 因为，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B， 所以，点B的纵坐标为n，所以，点A的横坐标为，即点B 的坐标为（，n）， PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=， 分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n时，PA=PB才能成立，所以，即③是不正确的； 当点A是PC的中点时，有PA=AC即=，所以，mn=2，即k=2， 所以，点P的坐标为（m，），即点B 的坐