例谈快速求解长方体表面的最短路径问题.pdfVIP

《数学之友》 2014年第8期 例谈快速求解长方体表面的最短路径问题 解题探 索 陈守逸 (兰州市第五十二中学，730000) 八年级 匕册第一章学习勾《股定理》，勾股定理有一 解析：将其中一点所在的 个重要应用就是求解立体图形中两点之间的最短路径 面展开与含另一点的面在同一 解立体图形上两点间最短路径问题的步骤：1． 平面内，可以分为三种情形： 将立体图形中与两点相关的面展开，转化为平面几 (1)将右侧面展开与下底 A 何图形；2．根据 “平面上两点之间，线段最短”确定 面在同一平面内(左侧面与上底面上展开结论相 最短路线；3．以最短路线为边构造直角三角形，利用 同)，可得其路程为：5=~／(口+c)+b． 勾股定理来解决．长方体表面的最短路径问题的解 (2)将前表面展开与上表面在同一平面内(后 法与此相同．下面举例说明如何快速求解长方体表 表面与下底面展开结论相同)，可得其路程为： 面的最短路径问题． s，= ~／(b+c)+a． 例 1 如图，长方体 (3)将前表面展开与右侧面在同一平面内(后 的长、宽、高分别为 8cm， 表面与左侧面展开结论相同)，可得其路程为： 4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长 方体的表面从点A爬到点 s。= 然后比较 s、s：、s，的大小，即可得到最短路程． 晟球蚂蚁爬行的最短路程 A 解 ：如图所示 ： 事实上： s1= ~／(a+c)+b=~／0+b+c2+2ac， s2 = ~／(b+c)+a。= +b+c+2bc， s3= √(a+b)2+c=~／。+b+c2+2ab， 要求路程 ．s的最小值只需2ab、2ac、2bc最小即 可，例如若0abc，此时2ab最小，所以5= √(a+b)+c=~／0+b+c+2ab即为最短路程． ／ 利用此法可以很快求出例 1中的最短路程： ‘ ‘ ． 458 ．最短路程为： 船 = 了 = m． ／ 5 例3 如图，一只蚂蚁从长、 宽都是4，高是6的长方体纸箱的 A A点沿纸箱爬到 点，那么它所行