函数不动点在解题中的应用(上).pdfVIP

维普资讯 14 中 等 数 学 函数不动点在解题 中的应用(上) 邓 光 发 (四川省开江普安中学，636251) 设 F()是关于 的一个代数函数 ，称 证明：条件 (iii)表明，对每一个fEM，都 方程 F()= 的根为函数F()的不动点． 有一个不动点 ，使得 ( )= ．现要证集 本文以实例来说明求函数不动点的方法和函 合 中所有函数 ，必有一个公共不动点 k． 数不动点在数学解题中的应用 ，供读者参考． 设 )=似+b的不动点为x，即似，+b= 1 求函数的不动点 xi· 求解函数的不动点时需要运用各种方法 与技巧，才能使问题迅速获解 ． 若 口≠1，则 = 是f的惟一不动 例 1 M 是形如厂()=似 +b(a、b∈ 点； R)的实变量 的非零函数集，且 具有下 若 a=1且 b=0，则任何实数都是f() 列性质： 的不动点； (i)若 f、g∈M，则 g。fEM，其中定义 若 a=1且 b≠0，则 的不动点不存在， (g。 ()=g[ )]； 这时fE M． (ii)若fEM，且 f()=似+b，则反函 因此，只须证 明：当f()=似 +b(a≠ 数f 也属于M，这里厂 ()：兰 ； Ⅱ 1)∈ 时，必有 为常数，这 时取 k= 口 一 l (iii)对 中每一个厂，存在一实数 ，使 ． 得 厂( )= ． ， 则对任何 ∈ ，有 ()= ． 求证 ：总存在一个实数 k，对所有 fEM 首先证 明，若 g ()=aft．+b ∈M， 有 k)=k． g2()=aft．+b2∈M，则 bl=b2．于是，由性 (第 15届 肼0) 质(i)、(ii)有 收稿 日期 ：2001一l1—15 修回日期：2OO2—07—03 [ 训 = 另一方面 ，由 a+a+…+口2=1，司得 当且仅当∑a=0且口。，口，…，a成等差 ∑ (口一 )=n一1—2∑ 口 i=i 数列时取等号，所 以，m的最大值为 = n 一 (∑口2≤n． n(n 一1)。 参考文献： 故m n2(n一1)≤n， [1] 徐稼红 ．最值互嵌问题[J]