函数不动点在解题中的应用(下).pdfVIP

维普资讯 2003年第4期 13 函数不动点在解题 中的应用(-F) 邓 光 发 (四川省开江普安中学 ，63625．1) 2．2 利用 函数不动点解方程 不动点 ，可 由方程 例7 若 a、卢是二次函数F()=Ax+ 1+[1+(一2+√2)][1+(一2一√2)]=0， +C的两个不动点 ，则 a、l|9也是四次函数 即 一2x=0解得 ，l=0，2=2． F(F())=A( + +C)+B(Ax+ + 所以，方程 F(F())一 =0的4个根 C)+C的两个不动点 ． 分别为2+√2，2一√2，0，2，即为原方程的解 ． 证 明：由 +＆ +C=a， + +c 由此可见 ，对于代数方程 G()=0，可 = 卢消去B、C，可得 转化为同解方程 F()= ，求 F(x)的不动 F()= +A(一a)(— )． 点 ，即可得 G()=0的根 ． 则 F(F())一 2．3 利用函数不动点求 n一周期点的个数 = F()+A[F()一a][F()一卢]一 例9 设 S是复平面上的单位圆周 (即 =A(一a)(一卢)+A[+A(一a)· 模等于 1的复数 的集合)，．厂是从S到S的映 (一卢)一a][+A(一a)· 射 ．对于任意的zES，定义 (一卢)一卢] D()= )， ()= ))，…， =A(一a)(一卢){[1+A( 一卢)]· ”()= … ( ))…)． — 一 [1+A(一a)]}． 如果 c∈S及 自然数 n使得 所 以，a、卢是F(F())的两个不动点 ． D(C)≠C， (C)≠C，…， 从例 7的证明中看出：F(F())的另两 D(C)≠C， (C)=C， 个不动点，可 由方程 就称 C是厂的 ／1,一周期点 ． 1+[1+A(一p)][1+A(一a)]=0 ． 设 m是大于 1的 自然数 ，厂的定义如下 ： 给出．若不求另外两个不动点，直接代人更方 ． 便 ．就是说 ，4个不动点为 F(F())一 =0 ． 厂()= (∈S)． 试计算 的 1989一周期点的个数 ． 的4个根 ． (第4届俄罗斯数学奥林匹克) 例 8 解方程 一6x+10x一4 =0． 解 ：当 (c)=C时，即知 c为 的 解 ：原方程变形为 n一不动点．显然 ，n一周期点必为 n一不动 ( 一3x+2)一3(x一3 +2)+2一 ：0．