具有较高级算子的两组分Camassa-Holm方程的柯西问题.pdfVIP

第38卷 第3期 应 用 数 学 学 报 Vo1．38No．3 2015年 5月 ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICA May，2015 具有较高级算子的两组分 Camassa—Holm方程的柯西问题 权飞过 (西安交通大学经济与金融学院，西安710061) (E—mail：quanfeiguo~163．com) 郭真华 (西北大学数学学院，西安710127) (E-mail：zhguo~nwu．edu．cn) 摘 要 讨论了具有高阶算子一(1一 +0)的两组分Camassa~Holm方程在Sobolev空间H。，s ；中的柯西问题，利用构造逼近解方法证明了该方程解的局部适定性问题，同时应用能量估计及 嵌入定理等方法得到了在给定初值条件下的爆破准则，并且进一步给出了具体的爆破速率． 关键词 Sobolev空间；两组分 Camassa-Holm方程；局部适定性；爆破准则；爆破速率 MR(2010)主题分类 76N10；35M10 中图分类 O175．1 1 引言及主要结果 本文考虑具有较高级算子的两组分 Camassa-Holm方程，即 fmt+ “m +2mu +PP=0， t0，X∈ ， {Pt+(up)=0， t0， ∈酞， (1．1) 【仇I：0d=efm0=(1一 + )0， (0，)=p0(z)． 其中，变量 (，X)表示流体的水平流速，p(t，)是流体的密度，当lXI一 ∞时，有 一0 且 P一 1． 近二十年来，国内外学者对 Camassa—Holm[卜。。]方程进行了广泛的研究，主要是因 为它具有非常显著的特性，如：由于具有双哈密顿结构而产生无穷多个守恒量，完全可 本文 2013年 9月 30日收到．2014年 9月 24日收到修改稿． 国家I然科学基金 和高等学校博士学科点专项科研基金 (20136101110015)资助项 目 3期 权 琶过，郭真华：具有较高级算子的两组分 Camassa-Holm 方程的柯西问题 541 积性 [1-3]，尖峰孤立子解和多重孤立子解的存在性 】，利用反散射变换解决初边值问 题 j81如1，局部适定性以及有限时间内爆破准则 2【0]等．如果令P=0且 m：(1一 )u， 则可得到经典的Camassa-Holm方程 [1]．若仅令m=(1一 )，可以发现系统 (1．1)已经 被广泛的研究，例如 [1,6，14，15，22，23]．[17]在 Besov(s )空间下得到了局部解的存 在唯一性，并在初始值假设条件下的到了全局解，推广了 [7]的结论．利用Kato定理， [10，15]在初始条件 (U0，町0)∈H ×H ，s 2下解决了解的局部适定性问题，并且给 出了关于强解爆破的条件．如果仅令 P=0，则可以发现 Coclite等 [11】已经研究了更一 般的具有高级微分算子的情形，并且得到了全局弱解的存在性． 本文主要研究 m=(1一 + )钆，P≠0的情形．注意到 (1一 + ) ／=g I厂 对所有f∈L )成立，且算子 (1一 + ) 具有卷积形式 [11]，即 (1一 + )一(厂．)()=gf=／g(x—y)f(y)dy， x∈， (1．2) 对所有f∈L ()成立，其中g的Fourier变换为 ^(() 辛 ， (∈· 且有 g(x) 0， fIg(x)1]W3,1(碾)，JIg(x)ll。，。。() Co， 对合适的常数 0． 对于系统 (1．1)，利用 (1．2)式可将系统