关于矩阵化标准形的注记.pdfVIP

2002年3月 焦作大学学报 No.1 第 1期 JOURNALOFJIAOZUOUNIVERSITY Mar.2002 关于入一矩阵化标准形的注记 吴蓝鹰 陈明文 (北京科技大学，北京 100083) 摘要:在现行的线性代数教材中，通常采取寻找各阶子式的最大奋因式的方法确定不变因 子，此方法学习之初较难掌握，之后凭借经验判断，缺乏规律性。此外，由于在每一轮初等 变换之前无法预知下一个不变因子，亦使得变换过程存在盲目性。本文介绍了一个简易的预 知不变因子的方法，即在每一轮初等变换前，在右下角的子阵中寻找其各一阶子式的最大公 因式，此即为下一个不变因子。文中给出了上述方法的证明和两个算例等。 关键词:最大公因式 不变因子 辗转相除法 初等变换. 中图分类号:0152.2 文献标识码:A 文章编号:1008-7257(2002)01-0041-03 1.预知不变因子 1.1 基本方法 化a一矩阵为标准形常用两种方法:(1)初等变换;(2)找各阶子式的最大公因式。一般地， (1)法普遍适用于各类a一矩阵化标准形，但较之 (2)法为繁，且不容易预知不变因子，对初学者 颇有不便，本文给出一种简易的不变因子预知方法。设给定矩阵: 五1(又) f2(A) 丸，(几) 九;(又) 几2(几) 几，(几) A(A)= ft(又) f.2(几) f..(又) 其中各一阶子式首项系数为1的最大公因式即为第一个不变因子凡I劝 。我们知道，对于矩阵 A(劝 总可经过一系列初等变换化成下列形式: r l E 八 恤 人 、 ， s e 少 0 0 0 l e e w e 0 r a 、 922(A) 923(A) 92.(又) l 一 w e e e 0 B(又)一 l 932(又) 933(A) 93，(又) e e … . I I 0 L 9。2(久) 9.3(久) 一 9..(几) 在进行后续变换之前，取B(A)中右下角的n一1阶矩阵: 尸 1 92:(久) 923(几) 92..(几) . w e . e s d32(久) 933(几) 93，(几) 一 一 l ， G(几) e s e s . I L 9.2(又) 9，3(几) … 9。。(久) 设其中各一阶子式首项系数为1的最大公因式为T(A)，即9,;劝二s;;(A