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维普资讯 2006年 9月 重夹师范大学学报 (自然科学皈) Sep．2006 第23卷 第3期 JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Vo1．23 No．3 关于强预不变凸函数的注记 彭再云，罗洪林 (重庆师范大学 数学与计算机科学学院，重庆400047) 摘 要：预不变凸函数是凸函数的一个重要分支，在文献[5]中，作者提 出了一类新的广义凸函数——强预不变凸函 数并给出了它的一些性质。本文，首先通过对文献[5]中定理条件的减弱，得出相同的结果，而后对其男一结论，作 了一个更为简洁的证明，最后还给出了此函数的几个新性质，从而在一定程度上完善了此类广义凸函数。 关键词：不变凸集；预不变凸函数；强预不变凸函数 中图分类号：0221．1 文献标识码：A 文章编号：1672—6693(2006)03．0036—04 TechnicalNoteonCharacterrizationsofStronglyPreinvexFunctions PENGZai—yun，LUO Hong—lin (CollegeofMathematicsandComputerScience，ChongqingNomralUniversity。Chongqing40047，China) Abstract：Preinvexfunctionisonekindofimportantfunctionsofconvexfunction．In[5]，theauthorsgavesomepropertiesof stronglypreinvexfunctionsunderacertainsetofconditions．Inthisnote，someoftheseconditionswhichcanbeweakenedto getthesameresults，andanothersimplifiedproofforacriterionofstronglypreinvexfunctions．Atlast，somenewproperties ofstronglypreinvexfunctionsareobtained． Keywords：invexset；preinvexfunctions；stronglypreinvexfunctions 凸性和广义凸性在数学经济、工程、管理科学和优化理论中扮演着重要角色；有关凸性和广义凸性的研 究是数学规划中最重要的方向之一，关于它的讨论已成为这一领域问题的流行趋势。近年来，很多学者在这 方面做了大量研究工作。杨新民教授对凸函数极其在规划方面的应用作了深入研究 ，Weir和Mond，， Weir和Jeyakumar 在凸函数的基础上，定义了预不变凸函数，这类函数是凸函数的推广，而后文献 [6]和文 献[7]对预拟不变凸函数作了进一步研究。在文献 [3]中，作者提出了一类新的广义凸函数——强预不变 凸函数并给出了它的一些性质。基于凸性研究的重要性及以上研究，本文首先将文献 [3]中定理的条件加 以削弱，得出相同的结果；而后对文献 [3]中另一命题给出了一个更简单的证明。最后还讨论了强预不变凸 函数的两个新的性质，并说明此类广义凸函数的重要意义，从而在一定程度上完善了此类广义凸函数。 1 基本定义 定义 1 设集合 R ，如果存在一个向量函数 叩：R ×R一R 使得 V ，Y∈K，A∈[0，1]，，，+ Arl(，Y)∈K，则称集合 是不变凸集。 定义2 设集合KC_R 是关于叼：R”×R一R 的不变凸集，函数厂： R如果满足 )+A叼(，y))≤ Af()+(1一A)f(Y)，V ，Y∈K，A∈[0，1]，则称函数 ／是预不变凸函数。 定义3 设集合K_CR 是关于叼：R ×R一R 的不变凸集，函数厂：—R，如果存在一个常数 0， 使得V ，Y∈K，A∈[0，1]满足 Y+A叼(，y))≤A厂()+(1一A) Y)一A(1一A)llr／(，Y)ll，贝