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数 学 杂 志 Vo1．35(2015) NO．6 J．ofMath．(PRC) 关于度量及纲函数的Hausdorff测度的两个反例 姚媛媛 (华东理工大学理学院，上海200237) 摘 要： 本文研 究了度量空 间中Hausdorff测度与度量及纲 函数 的关系．利用拓扑学及 Hausdorff测度论中一些性质，构造了两反例来说明存在不等价纲函数g，h和某一紧度量空间 (P， )， 使得Hp,g与 日p1对此紧度量空间等价等问题．这些反例有助于从另一个角度理解文胜友、文志英 [] 中主要结果． 关键词：度量；纲函数；Hausdorff测度；等价 MR(2010)主题分类号：28A80；28A78 中图分类号：O174．12 文献标识码： A 文章编号：0255．7797(2015)06—1475—06 1 引言 Hausdorff测度是分形几何与几何测度论中一个基础而重要的研究课题，参见文 [1—3】． 文献 f41研究了涉及度量及纲函数的推广 Hausdorff测度，讨论了加倍条件、Hausdorff测度 的等价性及度量等价性之间的关系．得到结论： f1)日p，g与 日P，对所有紧度量空间等价，当且仅当纲函数-9与h等价． (2)对给定的C∈(0，+。。)＼{1)，日舢 与 日。舢 对任意的紧度量空间 (P，X)等价，当且仅 当纲函数g满足加倍条件． 围绕这两个结论，有一些值得思考的问题： (a)是否存在不等价纲函数g，h和某一紧度量空间 (P，X)，使得 日，g与 日p，对该度量 空间等价? (b)结论 (2)中，考虑的度量P与cp是等价度量，而非任意度量 P1，P2．是否存在不等价 度量空间 (P1，)，(P2，X)和某纲函数g，使得Hpl，g与 日 g等价? 本文拟对上述两 问题给出肯定答案． 2 定义及引理 首先给出需要的定义和引理： 称非空集合 上的两度量 P1与 P2等价如果存在常数 0c1 C2+。。，使得 ClPl(，Y) P2(X，Y) c2Pl(，Y)Vx，Y∈X成立． 称非空集合 上的两测度 1与 2等价如果存在常数 0c1 C2+。。，使得 C1-／L1(K) 2(K) C2#1(K)VK 成立． 称函数 g：[0，+∞)一 [0，+∞)为纲函数若它递增右连续，当 0时 ()0且 g(O)=0．称纲函数9满足加倍条件，如果存在常数0C+o。及 0，使得Vo X ， 收稿 日期：2014—01—21 接收日期：2014—03．17 基金项 目：国家自然科学基金青年基金资助 ；中央高校基本科研业务费专项资金资助 作者简介：姚媛媛 (1983一)，女，安徽南陵，讲师，主要研究方向：分形几何、几何测度论． 数 学 杂 志 有g(2x) ()．称两纲函数 g1与g2等价如果存在常数0C1 C2+oo及 0，使得 VO X ，有clgl(X) g2(x) c2夕l()． 设 (P，X)为度量空间，g为纲函数，对 ，称可数集族 {)t为 关于度量P的一 个 覆盖，若ui 且对任意i，0 l1 ，其中II=sup{p(x，Y)：X，Y∈ )．定义 ’ ()=inf∑g(IU~l) i 这里下确界取遍所有 K 关于P的 覆盖．定义 关于度量P及纲函数9的Hausdorff测度 为 H () {im。艚(K) 由文献 [3]知以上定义的测度是X上Borel正则的度量测度． 引理 2．1(5】若 为度量空间，则 为紧等价于 中的任一序列存在子序列收敛于 中的点．