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关于矩阵JORDAN标准形的算法 730000西北民族大学数学与计算机科学学院甘肃兰州孙浩博 【摘要】我们都知道并不是每个方阵都能相似于对角矩阵，对于一般的方阵，通过相似变换能否找到一个比较简单的类似于对 法、行列式因子法以及具体的求解步骤。 【关键词】矩阵Jordan标准形初等变换特征值特征向量 1．基本概念 形为 设AsC…，如果A；是A的单特征值，则应对应1阶Jordan 块Ji=(Ai)；如果Ai是A的重特征值，则对应A。有几个线性无 J= 关的特征向量就有几个以A。为对角元素的Jordan块，这些如r— dan块的阶数之和等于．由A的所有特征值对应的Jordan块构 成的Jordan矩阵即为A的Jordan标准形，这就是特征向量法． 若由(ii)式得到的特征向量并不一定都是线性无相关的， 设^在．，的第s行(列)开始，第t行(列)结束，则r=t—s 可由(A，E—A)“X=0 +1．令P=[P1，．．．，P。]，则由(1)(2)可知，如果已求得P。，则立 得到二阶根向量丑，(j=m；一dim(”；)) 即可依次求得P。，…，只； (A—A。E)葺=芬。即A墨=墨。+Ai葺 P。=(A—Ai，)P。+1(J=1，…，r一1) 2．若都为单根 P。称为Jordan块(1)的生成元，P。，…，P。称为由P。生成 A—AE l=(A—A1)(A—A2)…(A—Az) 的Jordan链．显然，如果能求得每个Jordan块生成的生成元，则 lA—A；ElX=0得到特征向量置，Ji=(A：) 立即可得到变换矩阵P． 3．若既有重根又有单根 现在假定已求得A的所有相异的特征值，设A是其中任意 只要令X=(X，，五，…，瓦) 一个，我们来确定对应于A的所有Jordan块的相应的Jordan 根据上述2种情况得到Jordan标准形为 链．由上面的讨论可知，关键是确定生成元． 定义2设A是n阶方阵的一个特征值，若存在n维向量x B=X1AX= 和正整数m，使得(A—AE)m1X≠o但(A—AE)“X=0则称向 量x为A的属于特征值A的一个m阶的根向量，简称A的m阶 根向量． 2．计算步骤 设矩阵A为n×n矩阵，我们要计算它的Jordan标准形和 变换矩阵x，其中X=(x。，五，…，瓦)。 考察方阵A=[=；；呈。三s2]是否相似于对角矩阵． Publicstaticvoid matrix(int[儿]a，intn，inti，intj) 解：由A的特征多项式 {while(![儿]a) 扩(i=j) a[i儿J]=A—a[i儿J]； lAE—Al=lA三_Aj之A兰2l=cA一·，cA一2，2 else 可得A的两个不同特征值A。=1和A：=2且A。是二重的． 如r(i=0；in；i++) for(j=0JnJ++) 得属于A。=1的一个特征向量为X1=(1，2，1)7，但是齐次方程组 a[i儿j]_一a[i][