保域上立方幂等矩阵的线性映射.pdfVIP

维普资讯 总37卷 第3期 数 学 研 究 Vo1．37 N0．3 2004年9月 JournalofMathematicalStudy Sep．2004 保域上立方幂等矩阵的线性映射 曹重光 陈 涛 (黑龙江大学数学系，哈尔滨 150080) 摘 要 设F是一个特征不为2及3的域，．(F)记，上n阶全矩阵代数．本文 在n≤m时得到了从 ．(F)到 (F)的保立方幂等矩阵的线性映射的形式．作为 应用又确定了保群逆线性映射形式． 关键词 域；立方幂等阵；线性映射 中图分类号 O151．21 文献标识码 A 1 引 言 设F是一个特征为不2及3的域，．(F)记F上n×11,全矩阵代数．GL．(F)记F上一般 线性群．如果 ∈M。(F)且A=A。，则称 为立方幂等阵．全体立方幂等阵构成M．()的子 集，记为 。(F)．设n，tn为正整数，设L为从 。(F)到 (F)的线性映射，若A。=A可推出 L()。一L()，则称L为保立方幂等的线性映射，所有这样的映射全体构成的集合设为 ．当 n≥tn时，，中元素的形式在E13、E2q、E33中有刻画．本文则要研究I,／≤m的情形．立方幂等 保持对广义逆保持十分重要(看E43)，本文作为主要结果的应用还给出了保群逆的线性映射的 刻画． 本文中我们用 J记‘(，)位置是1，其余位置是零的矩阵．，．记n阶单位阵． 的转置阵 记为 ，又 oB记 与B的Kroneeker积．如果A，B∈M．(F)且AB—BA=0，则称 与B正交．又记集{1，2，…，n)为[1，n]． 2 主要结果及证明 引理1[ 设chF≠2，3且A，B∈ ．(F)，则 ±B∈ ．(F)当且仅当 与B正交． 引理2【] 设A，B∈M．(F)．若 ±B，A±2B∈ ．(F)则下述成立． ()B。= 0 ()ABA +BA2+ A2B= B 引理3[。一 设 ∈T．(F)，则存在P∈GL．(F)使得P AP=一J，0J0O，此处0≤ p+ 口≤ ． 引理4 设L∈ 且对某个 ∈[1，n]有L(曰)=0，则L=0． 证明 令A=L(t)，B=L(曰J)‘(≠ )，则引理2(ii)及A=0可推出L(曰i)=0，再 收稿日期{2003—08一l4 基金项目；国家自然科学基金；黑龙江省自然科学基金资助(A0107) 维普资讯 · 3OO· 数学研究 2004芷 由L(2BJJ+2EJ‘— 一Ej)‘∈T．(F)可知2L(Jj)∈T。(F)．又因为L(Ejj)∈T．(F)，所以 L(，，)一0，V ∈[1，]．类似上面可证得L(，)一0V ，q∈E1，]，即L一0． 引理5 设L∈，且L()≠0Vi∈E1，]，则存在P∈GL (F)使 P一(Ed)尸一[dodiag(一，，，，)]oO． 其中p+‘q一‘r一‘秩L(E)，仍一、(：’r)‘+8 证明 注意到L(“)，L(EJj)，L(E土 )∈T。(F)，应用引理l及引理3，参考[2]的定 理 3．1的证明容易得到． 引理6 设L∈，，且L()≠0Vi∈E1，-3则存在P∈GL(F)使得 (i) (“)一P[(dodrag(一 ，，Iq))oO．]P一 且同时有 (。)T(J)一PE(Eij0B +Ejo‘B ]P～o0。，Vi≠J 其中B 与B；．J‘为P+q阶阵，形为drag(x，Y)，其中x∈ ，(F)，】，∈M (F)． 证明 注意L()土L(。，)，L(曰)土2L(f)∈T。(F)，由引理2得 L(d)L(Ij)L(d)+ L(iJ)L(d) + L( )L(EiJ)