保数值域反乘法映射.pdfVIP

第 2o卷第 1期 湖北民族学院学报 (自然科学版) vo1．2o No．1 2002年 3月 JoumalofHubeiInstituteforNationalities(NaturalScienceEdiSon) Mar．2O02 保 数 值 域 反 乘 法 映 射 严单贵 (湖北民族学院数学系，湖北 恩施 445000) 摘要 ：设H和 K为复 I-Iilbert空间，且 妒为B(H)到 B(K)的保数值域反乘法满射 ，证明了存在 A∈B(H，K)，使 得对每个TEB(H)都有形式 妒(T)=AT A～，其中T 为T的共轭算子． 关键词 ：反乘法映射 ；数值域；秩一算子 中图分类号：O177 文献标识码：A 文章编号：1008—8423(2oo2)ol一0026—03 1 预备知识 设 H和 是复Hilgert空间，B(H)(B(K))表示 日()上有界线性算子全体作成的代数，称映射 ：B (H)一B()是反乘法的，若VA，BEB(日)有 (AB)： (B) (A)成立，称一个映射 ：B(H)一B()是 保数值域的，如果对每个 ∈B(日)有W( (T))=w(T)成立，其中w(T)表示算子T的数值域． (叉)厂表示 秩一算子 u一 “，f ，其中 EH，UEH，且 ≠0， ． 厂≠O，注意到每个秩一算子都可以写成上述形式．对 每一非零 EH 和非零UEH，令 L={og：gEH)，R，={u~f：fEH)，显然每个 L 和 Rr都为B(H)的 线性子空间、 引理 1 T为复内积空间X上的线性有界算子，则T=0的充要条件是对一切 EX有 Tx，=0． 2 保数值域反乘法映射 以下均设 为 B(H)到B(K)的保数值域反乘法满射，且满足 (aI)=a~o(I)，VaE ． 引理2 设T∈B(H)，则 w(T)={O)当且仅当 T：0． 证 明 若 T=0，则显然有W(T)={0)． 若w (T)= {O)，即 {(Tx，)： E H， 0= 1}= {O)，不妨设 Y ： llY ，，，≠0，则有 {(T ，1厂)：yEH)={o)，即1广 Ty，Y：o，VO≠YEH、所以Ty，Y=o，VyEH且 y≠0，由引理 1知 ：T=0． 引理3 是单射、 证明 若 (T)=0，TEB(H)，则由引理 1，w((T))：{O)，而 保数值域，故W(T)=w((T))= {O)，从而T=0，即 是单射 、 弓I理 4 VTE B(H)有 (aT)=口 (T)，口∈ 、 证明 (aT)= (T ·aI)= (口I) (T)= 口 (I) (T)=口 (T)、 引理5 双边保秩一算子，即T是秩一算子当且仅当 (T)是秩一的、 证明 注意到T∈B(H)是秩一的当且仅当 VA，BEB(H)，ATB=0蕴含 AT=0或 TB：0，由引理 3知，ATB=0当且仅当 (B)·(T)·(A)=0，而AT=0或 TB=0有相应的 ()(A)：0，或 (B)(T) = 0，即 (B)()(A)=0蕴含 ()(A)=0或 ()(T)=O，故而 (T)是秩一的．同理可证 也保 秩一算子，故 双边保秩一算子、 收稿 日期 ：200l一08一l2． 基金项目：湖北省自然科学基金(9~j17o)；湖北省教委高校重点科研基金资助项目(98~019) 作者简介：严单贵 (1975一)，女，讲师，硕士，主要从事算子代数研究 ． 第 1期 严单贵：保数值域反乘法映射 27 引理6 Vx和f∈日，了y和g∈ ，使得 (L)=R ， (R，)=L． ial!@ 先证 (L)=R ． 给定一非零的 ∈日，取 ∈日，使得 (，)=1，V ∈日，由引理5，存在 g。和 g EK，使得 (o )=)，-o gl， (of2)=Yzo gz； 另一方面 ， (o )= (o 。 o )=