二次无理数的连分数.pdfVIP

第 11卷第2期 西安文理学院学报 ：自然科学版 Vo1．11 No，2 2008年4月 JournalofXi’anUniversityofArtsScience(NatSciEd) Apr．2008 文章编号：1008—5564(2008)02。0054。05 二次无理数的连分数 杨中和 (西安文理学院数学系，陕西 西安 710065) 摘 要：给出了以下几个结果：1．给出了 的连分数展式的简便算法．2．证明了 连分数循环节 结构的中心对称性．3．给出了一般二次无理数(n+√ )／6的连分数算法． 关键词：部分商；连分数；二次无理数 中图分类号：0151 文献标识码：A 连分数是去番郡逼近的重要工具，但一股书上的再法较繁，本文对二次无理数的简单连分数给出了 一 种简便算法——取整算法． 1 的连分数展开 对于一般实数a，将其写成整数与分数之和：a [a]+{a}=[a]+(亩 -1,则其形式连分数为a = [[a]丽1]，对于非平方自然数，若[]=志，则 =志+ 一志=志+ ～， 于是，其连分数为~／=I志·— I若要求简单连分数，再将第二项的分母有理化，写出其整数部与 L ^， 一 定 J 分数部，整数部即第二部分商．分数部的倒数即形式上的第三部分商．继续这一模式：整分部分离—— 分数部取倒—— 母有理化，… ·最后便得出 的简单连分数． 注：上述符号有两种含义，一是欧拉连分数，另一种 [·]为高斯取整符号． 例 1．求 的连分数． 解 [ ]=2 一 = L[2．√7一2=j… jJ]_ [2．1．志 = … ]_ [2．1．．志 = …等 ]_ Lf2．1．1．1．√7．’2=2+ I：[2．i．1．1． 一 J … 一 … ‘ 将以h算法一般化．设[ ]=志，在 的连分数展开过程中，每次分母有理化后．都会出现形如 收稿 日期 ：2007。05。24 作者简介：杨中和(1934一)，男，陕西咸阳人 ，西安文理学院数学系教授．研究方向：数论 第2期 杨 中和 ：二次无理数的连分数 55 垒_ 的分数，如展开式中的≥， 等等．给分子加、减一个≤忌的最大整数c，使6f(口+ )，其商便是新的部分商，接着对 继续进行取倒、有理化、整分部分离步骤，不断循环．为了表述 方便，令 1l=n—c，称为c的过渡数．于是 = 忌+ 一忌= 志 =√+kk+il+√ k．k+ il · = l ■．‘±2．‘! 一．…．．．Il—一 一 一 · ni ／nk ．… ． ． nk n i ／ LI宠．————‘—一．…．一q ．———，q一一…J]I ㈩l，