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二元函数全微分的原函数
∂Q ∂P ∫∫ [ ∂x − ∂y ] dxdy ± ∫ Pdx + Qdy D L 细节决定成败 11:43:14 二元函数全微分的原函数 批注 [d1]: Dirk （1） 引例 ( ,Px )y ( ,Qx )y 现在要讨论： ， 满足什么条件时？表达式 P x ( y , dx ) Q+ x ,( y ) dy 才是某个二元函数 ( ,Ux )y 的全微分。 （2 ） 定理 3 ： P (x ,y ) 设开区域 G 是一个单连通的区域，函数 ， Q (x ,y ) 在 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 P x y dx Q x ( y , dy ) ( + , ) 在 G 内是某一函 U (x ,y ) 数 的全微分的充要条件是： ∂Q ∂P ∂x ∂y ∂Q ∂P 即：等式 ∂x ∂y 是等式 U (x ,y ) P x y dx Q x ( y , dy ) ( + , ) = 成立 的充要条件。 （3 ） 证明： A. 必要性： ∂Q ∂P ∫∫ [ ∂x − ∂y ] dxdy ± ∫ Pdx + Qdy D L 细节决定成败 11:43:14 , Pdx) x Qy ( x ( y dy + , ) U (x ,y ) 如果存在 = 成立 ∂U ∂U 则 P (x , y ) ， Q (x ,y )
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