一类带有非线性接触率的SIR传染病模型的稳定性.pdfVIP

高校应用数学学报 2014，29(1)：11—16 一 类带有非线性接触率的SIR传染病 模型的稳定性 杨 洪 ，魏俊杰 (1．黑龙江八一农垦大学 理学院，黑龙江大庆 163319 2．哈尔滨工业大学(威海)理学院，山东威海 264209) 摘 要：分析传染病模型的稳定性，并考虑到已感染者对易感染者的作用是非线性的． 文中首先研 究了传染病模型解的正性和最终有界性．在此基础上，当基本再生数满足 一 定条件时，构造一个满足条件的Lyapunov函数，证明了无病平衡点的全局稳定性． 关键词：传染病模型；非线性接触率；稳定性 中图分类号：O175．13 文献标识码：A 文章编号：1000．4424(2014)01—0011—006 §1 引 言 为了比较好的了解传染病的传播机理，许多学者分析了各种传染病模型的稳定性．文[1】中 主要研究了双线性接触率的传染病模型的平衡点的稳定性，其模型如下 dSt()=r(t)(1一 )一BS(t)I(t一下)， dI( t)．= s()(t一7．)一(1+7)(￡)， (1) dt dR (t)．： -yI(t)一 2R(t)． dt s(t)，(t)和R()分别表示t时刻的易感染者，己感染者和恢复者的数量．并且假设易感染 者是按Logistic方式增长，增长率为r并且 是环境的最大容纳量． 10表示染病者的死亡率， 20表示康复者的死亡率， 0表示康复率．S(￡)(￡一r)是关于易感染者和己感染者的双线 性接触函数，其中 0． 参考文2【】在研究传染病模型时，可以把易感染者和已感染者的接触函数改进为较一般的情 况，模型如下 dS 出 t()=rs(￡)(1一 )一s(￡)P((t))， dI( dtt)．= e-prs(t—T)P(I(t一7．))一(+ )@)， (2) dR ． (t) = rI(t)一tin(t)， dt 收稿 日期：2013．01．27 修回日期：2014．02．09 基金项目：国家自然科学~ ，黑龙江省教育厅科学技术项目 12 高校 应 用数 学 学报 第29卷第1期 其中s() 0，z(o) 0在一7- 00是连续的，且s(o)0，i(o)0．这里e— s(t一7-)P((t一 丁))表示在t一7-时刻接触感染者且死亡率为 的条件下，时刻患病者的个体数量． 假设函数P(，)在[0，+∞)上是连续的，在(0，+∞)上是可微的并且满足下面条件： (A1) P()在[0，+∞)上是严格单调增的并RP(0)=0， (A2)南在(0，+∞)上是单调增的并且l翌南 =1． 由于R(￡)没有出现在系统(2)的前两个方程中，故系统的动力学性质不受第三个方程的影响． 在本文中所考虑的系统为 =rs(￡)(1一 )一s()P())， = e- s(t一7_)P((t一7．))一(+7)(t)， 其中s() 0，i(o) 0在一7- 00是连续的，Rs(o)0，i(o)0． §2预备知识 引理2．13【] 若ab，设 (t)为下列方程的解 e(t)=au(