§1.3 整除性理论.pptVIP

* 第一章 多项式 * * * §1.3 整除性理论 一、多项式整除的概念 多项式的整除性 设 ，若存在 ，使 ，则说 整除 ，记为： ，记为： 。 当 时， 称作 的因式， 称作 的倍式。 整除的基本性质 性质1： 否则就说 不能整除 若 则 。（传递性） 证： 使 性质2： 若 ，则 。 证： 性质3： 若 ，对 。 证： 性质4： 若 则对 有 性质5： 若 则 证： 为常数。 性质6： 且 则 性质7： 带余除法定理 定理1.3.1： 设 ，且 则存在 使得 这里 或 满足条件的 唯一确定。 商式 余式 证：先证存在性。 1、若 则取 即知结论成立。 2、设 对 的次数n，利用数学归纳法。 当nm时，显然取 下面讨论 的情况。 假设当次数小于n时， 的存在性已证 现考虑次数为n的情况。 ，即知结论成立。 令 分别是 的首项，因而多项式 的次数小于n或为0。 若 ，取 若 由归纳法假设，对 有 存在， 使 其中 或者 于是 取 就有 ，结论成立； 其中 或者 再证唯一性。 若有 则 若 则 这与 矛盾， 故 从而 推论1： 若 且 则 的充要条件是： 除 的余式 证： 充分性。 若 且 则有 必要性。 若 ，则 例1.3.1 设 求 除 所得的余式和商式。 * 第一章 多项式 *