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第二十一章 重积分 §1 二重积分的概念 §2 直角坐标系下的二重积分的计算 §3 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 §4 二重积分的变量变换（换元积分法） §5 三重积分的概念 §6 重积分的应用 §1 二重积分的概念 一、平面图形的面积 二、问题的提出 三、二重积分的定义 四、二重积分存在的条件 五、二重积分的性质 一、平面图形的面积 为了研究定义在平面点集上二元函数的积分， D o x y 设平面图形D有界, ?i 则存在一个矩形R,使得 为了考察D的面积，先用一组平行于坐标轴的直线网T分割D ，如图 T的网眼（小矩形）?i可 以分为三类： (1) ?i上的点均是D内的点； (2) ?i上的点均是D的外点； (3) ?i上的点含有D的边界点。 首先讨论平面有界图形的面积。 D o x y (1) (1) (1) (1) (3) (3) (3) (3) (2) (2) (2) 将属于直线网T的第(1)类小矩形的面积作和，记为 将属于直线网T的第(1)类与第(3)类小矩形的面积作和，记为 则有 由确界原理可知： 对于平面图形D的所有直线网的分割T， 记为 于是有 (1) 定义1 则称D为可求面积，并将 定理21.1.1 证明过程完全类似于定积分. 推论 定理21.1.2 定理21.1.3 定理21.1.4 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶 柱体体积=？ 特点：曲顶 1. 曲顶柱体的体积 二、问题的提出 曲顶柱体 曲顶柱体： 以曲面∑：z=f(x,y)为顶， 一般z=f(x,y)在D上连续。 以平面有界区域D为底， 侧面是柱面， 该柱面以D为准线， 母线平行于z轴。 还有其他类型的柱面。 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 采用类似于求曲边梯形面积方法 ? D z =f (x, y) y x z (1) 分割 (2) 作近似 (3) 求和 (4) 取极限 令 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 2、求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为? (x,y) ，假定? (x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 定义1 设f (x, y)在有界闭域D上有界，若对于D的任意分割和在??i上任意取 (?i , ?i) ，作积、作和， 存在，则称其为f (x, y)在D上的二重积分，记为 三、二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 分划细度 若极限 简单的说 定义2 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域D上的函数,J为一个常数,若??0,总??0,使得对于D的任意分割T,当他的分割细度||T||?,属于T的所有积分和均有 则称函数f (x, y)在D上可积,数J称为f (x, y)在D上的二重积分. 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 分划细度 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值. 若位于xoy面上方柱体的体积为正值； 位于xoy面下方柱体的体积为负值， 二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 对二重积分定义的说明： (1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是任意的。 (2) 二重积分的几何意义 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分在直角坐标系中可写为 D 则面积元素为 积分变量 二重积分的具体形式 dx dy (3) 与定积分相似,若函数f (x, y)在D上可积,可采用特殊的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重积分值. 四、二重积分可积的条件 什么样的函数可积? 类似于定积分 1 必要条件 属于分割T的上和 属于分割T的下和 定理21.2.5 2 可积的充分条件 上和、下和的性质类似于定积分 于是有 2 可积的充要条件 定理21.1.6 定理21.1.7 定理21.1.8 定理21.1.9 〖证明〗见教材P215-216 性质3 对区域具有可加性 性质4 若?为D的面积, 性质5 若在D上 特殊地 则有 性质1 当k为常数时， 性质2 （二重积分与定积分有类似的性质） 五、二重积分的性质 估计的值， 其中D： . 区域面积, 在上的最大值 的最小值 故 判断的符号. 当时, 故 ; 又当 时, 于是. 比较积分与 的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点 各为(1,0),(1,1), (2,0). 三角形斜边方程 在