Rolle定理的推广及应用.pdfVIP

2011年 3月 榆 林 学 院 学 报 Mar．2011 第 2l卷 第2期 JOURNALOFYULINUNIVERSrrY V01．2lNo．2 Rolle定理的推广及应用 张晓彦 (山西水利职业技术学院，山西运城044004) 摘 要：微分中值定理是数学分析中很重要的基本定理，在数学分析中有着广泛的应用。它是沟通函数 及其导数之间的桥梁，是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具。 利用微分中值定理可以论证方程的根的存在问题、方程根的个数问题以及根的存在区间问题，也经常用 于证明一些含有导数的等式。在形式结构上，Rolle定理是中值定理的基础，一方面它包含在其它中值 定理之 中，另一方面其它中值定理的证明又往往通过 R0lle定理来实现，但该定理要求 自变量的范围是 闭区间，这就使某些问题的解决受到了限制。主要将 Rolie定理推广到有限开区间和无穷区间，用两种 方法进行证明，并且举例说明其应用。 关键词 ：Rolie定理 ；开区间；无穷区间 中图分类号：017 文献标志码：A 文章编号：1008—3871(2Ol1)o2—0019—03 函数在一点的导数，只反映函数在这点近旁的 2Rolie定理 【】 性质，所以导数是局部性质，但是研究工作中又常常 若函数f(x)在闭区间[a，b]连续，在开区间(a， 要用函数全局性质，于是要从导数给出的局部性质 b)可导，并且 f(a=f(b))，则至少存在一点专∈(a， 推出函数在整个定义域上的性质，这就要利用微分 b)使f(考)=O。 中值定理来达到这个 目的。其 中Rolle定理是基 3Rolie定理的推广 础，一方面它包含在其它中值定理之中，另一方面其 定理 1{5-t0~设函数在有限或无穷区间(a，b)中 它中值定理的证明又往往通过 Rolie定理来实现， 的任意一点处，存在有限的导数，且，则在(a，b)内 但Rolle定理的条件是充分而非必要的，有一定的 至少存在一点，使。 局限性，对其进行推广，使其得到更加广泛的应用。 证明：方法一 (分四种情况证明)： 1预备定理 (I)当(ab)为有限区间时，设 一 1．1函数极限的保序性[】若 limf(X)=b与g(X) z—+B =c，且 bc，则了80，Vx：0ix—af8o，有f F()：f(x) ’XE(a’b)t- 【limf(x)=lif(x)，x=a或b (x)g(x)。 1．2达布定理 】若函数在[a，b]上可导，对f+(a) 显然，函数F(x)在[a，b]上连续，在 (a，b)内可 与 (b)之间任意 ，则在 (a，b)内至少存在一点 导，且 F(a)：F(b)，故 由Rolle定理知，在 (a，b)内 c，使f(C)= 。 至少存在一点 ∈，使 F(专)=0 推论 若函数f(x)在区间I上可导，且 f(x)处 而在 (