MKdV和FPU方程的李点对称.pdfVIP

数 学 杂 志 Vo1．35(2015) NO．4 J．ofMath．(PRC) MKdV 和 FPU 方程的李点对称 白永强 ，-，薛红梅 (1．河南大学现代数学研究所，河南开封475004) (2．河南大学数学与统计学院，河南开封475004) 摘 要： 本文研究了离散微分方程的李对称 问题．利用差分方程的延拓方法和交换流方法，我们 求得了若干重要的差分方程、微分差分方程的李对称，推广了对称性分析法在连续微分方程讨论时的 结果． 关键词：对称性；延拓；微分差分方程；差分方程 MR(2010)主题分类号：58D19；39A14 中图分类号：O175．7 文献标识码： A 文章编号：0255—7797(2015)04—0995—10 1 引言 偏微分方程主要来源于物理学、力学等 自然科学及工程技术．如由牛顿引力理论推导 出的描述引力势的拉普拉斯 (Laplace)方程和泊松 fPoisson)方程、描述波传播的波动方程 (waveequation)、描述热传播和扩散的热传导方程 (heatequation)等．这些方程在偏微分方 程理论的研究中发挥 了重要的作用，时至今 日，它们仍然是偏微分方程 的基础和必学 内容之 一 ． 自19世纪开始，随着科学技术的发展，相继出现了大量新的的偏微分方程，其中最基本的 有描述 电磁场变化的麦克斯韦方程 (组)、描述微观粒子的薛定谔方程，以及爱因斯坦方程、 杨一米尔斯方程、反应扩散方程等．而随着现代科技的进步，还将会不断涌现出新的越来越多 的偏微分方程，尤其是非线性偏微分方程或方程组．其中，非线性波方程是描述 自然现象的一 类重要数学模型，也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一．通过对非 线性波方程的求解和解性质的定性分析，有助于人们弄清楚系统在非线性作用下的运动变化 规律，合力解释相关的自然现象，更加深刻地描述系统的本质特征，极大地推动相关学科如物 理学、力学、应用数学以及工程技术的发展． 19世纪末，在 Galois和 Abel工作的启发下，SophusLie引进 了李群理论，其无穷小分 析理论已经被广泛地应用到各种数学物理和力学学科之中，它的主要用途在于使较难处理的 微分方程 (尤其是偏微分方程)得到了统一的求解方法 [卜引． 对称性理论在非线性科学及偏微分方程的研究中起着非常重要的作用，而李对称群方法 是研究微分方程对称性的有力工具．所谓微分方程系统的对称群就是将方程的解仍变成该方 程的解的变换群．对于给定的微分方程，一旦得到其所对应的对称群，往往就有相应的守恒 律、可积性和 Hamilton结构．同样利用对称可以构造偏微分方程的相似解，即从已知解出发 经过对称群的作用而得到的新解．从对称出发还可以直接将偏微分方程约化为常微分方程， 收稿 日期：2014一10—05 接收 日期：2015—0226 基金项目：国家自然科学基金资助 ． 作者简介：白永强 (1975一)，男，河南辉县，副教授，主要研究方向：数学物理 数 学 杂 志 从而为求偏微分方程的精确解创造条件．而一个最直接的应用就是利用对称求得方程的群不 变解． 要想利用李对称群理论来研究微分方程，其基本思想就是先求出方程的对称，即先求出 使所要研究的微分方程保持形式不变的变换群，然后利用对称使方程降维降阶，进而求得精 确解．至于如何求方程的对称，其主要思想是先设定方程对称的向量场形式，这里含有几个待 定函数，然后根据对称的定义，即使原方程形式保持不变的变换群，可以得到关于待定函数的 决定方程组，求解该方程组即可得到原方程对称 的具体形式． 本文的结构如下：在第 2节 中，我们简单介绍了微分方程李对称的延拓方法．第 3节 中， 我们介绍了微分方程李对称的延拓方法在差分方程对称研究中的推广．在第4节中，在差分 方程延拓的基础上，借助于连续思想将延拓