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§6.1 环的定义和基本性质 一．环的定义 二．环内一些特殊元素和性质 三．环的分类 一．环的定义 定义1（P116，定义3.1.1）：设A是一个非空集 合，在A中定义两种二元运算，一种叫加法，记 做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足： （1）（A，＋）是一个可换群； （2）（A，· ）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a ，b ，c ∈A， 有：a (b ＋c) ab ＋ac ，(a ＋b)c ac ＋bc； 则称代数系（A，＋，· ）是一个环. （A，＋）是一个交换群，称为环A的加群. 如果环(A，＋，·)对乘法也是可交换的，则称 A是可（交）换环. 例1（P116，例3.1.1）：整数集合Z对于通常 数的加法与乘法构成一个环（Z，＋，· ）. （Z，＋，· ）是一个交换环. （Z，＋，· ）称为整数环. Q、R、C对＋和·也构成环. 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为 数环. Z，Q，R，C都是数环. 2 P116 3 1 2 例（ ，例 ）：设 . . Z[ ] { | Z ， ， 1} ， i a bi a b i + =∈ − Z[ ] i 对复数加法和复数乘法 构成环，称为 Gauss 整数环 . 例3（P117，例3.1.4）：设M (Z)={(a ) | n ij n ×n a ∈Z}是整数环Z上的所有n阶方阵的集合，则 ij Mn (Z)对矩阵加法是一个可换群，对矩阵乘法 是一个半群，且适合分配律，所以， （M(Z)，＋，· ）是一个环. n 一般地，如果A是一个数环，则Mn (A)对矩阵的 加法和乘法构成环，称为数环A上的全矩阵环. 例4（P117，例3.1.5）：设Z[x ]={a ＋a x ＋ 0 1 2 n a x ＋… ＋a x | a ∈Z，n ≥0为整数}是整数 2 n i 环上的全体多项式集合，Z[x ]关于多项式的 加法和多项式乘法构成环. 一般地，设A是一个数环，A[x ]表示系数属于 A的一切x 的多项式所成集合，则A[x ]关于多 项式的加法与乘法做成一个环. 二．环内一些特殊元素和性质 1．环内一些特殊元素 设(A，＋，·)是一个环，加群(A，＋)中的 单位元通常记作0，称为零元. 元素a在加群中的逆元记作－a ，称为a的负元. 环中的单位元指乘法半群(A，·)中的单位 元，记作1. 环中一个元素a的逆元指的是它在乘法半群 中的逆元，记作a －1. 环A中的所有可逆元的集合记作U(A)，U(A) 对环中的乘法构成群，此群称为环A的可 逆元群.（P127） 例5：求高斯整数环Z[i]的可逆元群. 解：U(Z[i])={1，－1，i ，－i}. 2．性质 设A是一个环，a ，b ∈A，则 （1）a·0 = 0·a = 0；