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§6.4 有限域 一．域的特征 二．有限域 三．密码学上的简单应用 一．域的特征 定义1：设（K，＋，· ）是域，F是K的非空 子集，且（F，＋，· ）也是域，则称F是K的 子域，K是F的扩域. 定理1（P156，定理4.1.1）：设F是域，则 元素1在（F，＋）的阶数或为某个素数p， 或为无穷大. 定义2（P156，定义4.1.1）： 设F是域，若元素1在(F，＋)的阶数为素数 p ，则称p 为域F的特征；若元素1在(F，＋) 的阶数为无穷大，则称F的特征为0. F的特征记作chF. 每个特征为零的域都是无限域. 有限域的特征一定是素数. 在特征是素数p 的域F中，下列等式成立： p p p (a ＋b) a ＋b ，∀a ，b ∈F. 设F和F’是两个同构的域，则F与F’的特征相同. 二．有限域 1．代数元 定义3：设K为域F的扩域，u ∈K ，若存在F 上的非零多项式f (x) ，使得f (u)=0 ，则称u是 F上的代数元，否则，称u为F上的超越元. 定理2 （P158 ，定理4.1.3 ）：设u是域F上的 代数元，并且f (x)是F上具有根u的n次不可约 多项式，则 F(u)= {a ＋a u ＋a u2 ＋… ＋a un －1| a ∈F} 0 1 2 n －1 i ≅F[x]/(f (x)). 2．有限域的结构 定理3：设F是一个特征为p 的有限域，则F的 元素个数一定为p 的一个幂p n ，n ≥1. 定理4：对任意素数p 和任意正整数n ，一定 存在一个含有p n个元素的有限域. 定理5（P171，定理4.3.1）：任何两个元素 个数相同的有限域是同构的. 命题1：设Fq是一个含有q个元素的有限域， 对任意正整数n ，F 上的n次不可约多项式一 q 定存在. 命题2：设Fq是一个含有q个元素的有限域，设p 是一个素数，Z ={0，1，2，…，p －1},设f (x) p 是Z 上的一个n次不可约多项式. p （1）若|F| p n ，其中n ≥2是一个整数，则F与 q q Z [x ]/(f (x))同构. p （2）若|F| p ，则F 与Z 同构. q q p 把p n 阶有限域记作GF(p n) ，称为Galois域. 3．有限域的元素的性质 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成 的群称为有限域的乘法群. 定理6 （P172 ，定理4.3.2 ）： n * n n * n 设GF(p ) =GF(p )\{0} ，则GF(p ) 是一个p －1阶 循环群. 定义4 （P172 ，定义4.3.1 ）： 乘法群GF(p n * n n ) 中p －1阶的元素α称为域GF(p ) 的n次本原元. 4．有限域的计算 设p 是任意给定的一个素数，n是任一正整数. 令f (x)是域Z 上一个n次不可约多项式，则 p Z [x ]/(f (x))是域， Z [x ]/(f (x))={a ＋a x p p