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2017-08-06 发布于浙江
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jindai23数论

§6.3 惟一分解整环一．整环中的因子分解二．惟一分解整环三．主理想整环四．欧氏整环一．整环中的因子分解用D表示整环，U(D)表示D的可逆元群. 节的命题：对任一无平方因子的整数d d ≠ ， §6.2 ( 1) d a b d a b + ∈ [ ] { | } 数集Z. ， Z 是整环 1．相伴定义1（P134 ，定义3.4.1 ）：设a ，b ∈D. （1）若有c = ab ，则称a是c的因子，c是a的倍元，并称a可整除c ，记作a | c. （2）若a |b且b |a ，则称a与b相伴，记作a ~ b. （3）若c = ab且a和b都不是可逆元，则称a是c 的真因子. 注：（1）0是任何元素的倍元. （2）单位元1是任何元素的因子. （3）可逆元是任何元素的因子. （4）两元素相伴，则它们差一可逆元因子. （5）可逆元无真因子，且所有可逆元都与1 相伴. 例1：求整数5在Gauss整数环Z[i]中的所有真因子. 2．既约元定义2（P135，定义3.4.2）设p 是整环D中的非零非可逆元的元素，若p 无真因子，则称p 是D的不可约元或既约元. 2 [ 3] { 3 | =− 例} ：设D+mZ −n m n ， Z ∈ ， 2 （1）证明：ε是D的可逆元 ⇔ |ε|=1 ⇔ ε=±1；（2）适合条件|α|2=4的元α是既约元. 证明：（1）采用循环论证法，即(i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(i). (i)⇒(ii)：若ε是D的可逆元，则存在ε’∈D，使εε’=1； 2 2 两边取模的平方，得：|ε| |ε’ |=1； =ε + 设m− n 3 ， 2 2 2 =ε ε=ε 则| | + m n 3 是正整数；同理，|ε’ |2也是正整数. 于是，|ε|2=1. (ii)⇒(iii)：若|ε|2