Jordan标准形定理的初等变换证明.pdfVIP

维普资讯 第 18卷第 2期 工 科 数 学 VolJ18．№ ．2 2002年 4月 JOURNALOFMATHEMATICSF0RTECHNOLOGY Apr．2002 Jordan标准形定理的初等变换证明 牛兴文 (北京化工大学 理学院．北京 100029) [摘 要]本文对Jordan标准形定理给出了一种使用初等变换的证明．直观意义明显、易于理解 ，可用于 线性代数教学． [关键词]矩阵~Jordan标准形 {初等变换 ：中图分类号]O151 [文献标识码]C [文章编号]1007．4120(200~)020085．06 1 引 言 Jordan标准形定理无疑是线性代数理论中最重要的定理．它的证明按所使用的工具可分为两类 ：使 用 一矩阵的代数证法和使用不变子空间直和分解的几何证法．前者把矩阵的相似关系归结为 矩阵的 相抵关系处理 ，缺乏直观且不能给出变换矩阵．后者使用了较多的几何概念和方法，几何意义明显 ，但篇 幅较大．本文给 出一种基于初等变换 的新 的证法 ，直观 、易于理僻且篇幅较小．具体地讲 ，即对复方阵A， 做初等列变换 ，得A尸 ，P 为相应的初等矩阵，再做与左乘P 相应 的初等行变换 ，得到A=P7A ，与 A相似，逐次找出 ，…， ．使 A A P，k=l，2，…，，晟终使 B=A为Jordan形矩阵． 2 几个 引理 我们仅使用下边几个熟知的结论作为预备知识 ． i)对方阵A做初等行变换 ，相当于左乘相应 的初等矩 阵；做初等列变换 ，相当于右乘相应的初等 矩阵 ii)P(i．)一一 ，(．)， P((c)) 一 尸((f ))， P(i，())一一P(，(一 )) 1【)若A～口．，i一1，2，…，k，则 引理 l 设A是任一 阶复方阵， ， ，…， 是A的全部特征值，则对任一 级排列 如…i，存在 级可逆复方阵 ，使得 i)T 。AT=B为上三角矩阵 ； ii)^， …，^依次为 的全部主对角元． 证 对 A的级数做归纳． 对一级矩阵结论显然成立．假定对 一1级矩阵结论成立，则对 级矩阵，由 ．是 A的特征值，存在 [收藕 日期]2001．05—29 [基盒项 目]岳 阳兴长出版基金资助 维普资讯 86 I 科 数 学 第rl8卷 相应的特征向量 ≠0，将 f1扩充为0 的一个基 ．记为 ，妄，…，￡，令T--( ， ，…，￡)，则 为 级可 f 、 逆复方阵，使得T AT一ll =A，即有A～A．．二者有相同的特征值，从而口的全部特征值为 ， o B】J 一 … … - ， ． 由归纳假设 ，存在 一l级可逆阵 S，使 B‘S一B 为上三角阵-且 ^|^，．