Hille-Yosida算子非线性Lipschitz扰动半群的直接紧性.pdfVIP

第 45卷第 16期 数学的实践与认识 Vo1．45．NO．16 2015年 8月 M ATHEMATICSIN PRACTICE AND THEORY Aug．，2015 Hille—Yosida算子非线性 Lipschitz 扰动半群的直接紧性 宋学力 ，张彦周z，彭济根s (1．长安大学 理学院，陕西 西安 710064) (2．河南职业技术学院基础教学部，河南 郑州 450046) (3．西安交通大学数学与统计学院，陕西 西安710049) 摘 要：研究非 自反Banach空间中Hille．Yosida算子的非线性Lipschitz扰动半群 的直接紧性保持问题．具体地，在非线性 Lipschitz半群的框架下，利用外推空间理 论，证明非线性扰动半群保持原半群的直接紧性质．获得的研究结果是线性算子半 群相应结果 的非线性推广． 关键词：Hille—Yosida算子；Lipschitz扰动；直接紧性 1 引言 设 是 Banach空间上 上的强连续有界线性算子半群 (简称 半群)(())tko的 生成元，B是 上的有界线性算子，则 A+B生成 上的 半群 (s(t)ho．此时，半群 (s( o称为半群 ((￡))0的扰动半群， +B为生成元 的有界线性扰动．半群的扰动 有时称为生成元的扰动．关于生成元的线性扰动研究，涌现出许多优秀的成果 【卜引． 在实际应用中，许多问题可以抽象成以下微分系统 J )=(A+B)z()，t0， … (0)= ∈莉 其中线性算子 是非 自反Banach空间 中具非稠定域的Hille—Yosida算子，定义在 Xo= 丽 上的扰动算子B不一定在空间x0里取值．因而，此类问题不能转化为生成元的扰动， 我们称此为Hille—Yosida算子的扰动． 针对 B ：X0一 1是有界线性的情况 ( 1的含义详见定义 2)，BdtkaiA等在 2002 年证明了 +B在 上的部分生成 半群 (So(t))to，并且证明了该半群在一定条件下保 持 在 0上的部分生成的 半群 ( (￡))t0的范数连续性，紧性和可微性等正则性质 6【J． 此外，他们还证明了下述等式 厂t (￡)=To(t)+ ／ 1(t—r)BSo(r)xdr，Vx∈Xo，t 0 (2) 0 其中，( (t))0是 (To(t))0在 0的外推空间X一1上延拓的 半群．对任意的z∈Xo， 满足等式 (2)的So(￡)称为方程 (1)的温和解 (Mildsolution)．此时，方程 (1)的温和解 So(t) 收稿 日期：2015—03—19 资助项 目：国家自然科学基金 ；陕西省青年科技新星项目(2014KJXX一55)；长安大学中央高校基 本科研业务费专项资金项 目(2013G2121017) 16期 宋学力，等：Hille—Yosida算子非线性 Lipschitz扰动半群的直接紧性 291 总是存在唯一的． 然而 由于非线性算子半群理论的不完善性，还没有学者针对 B：Xo— F_ 是非线性 Lipschitz算子的情况进行研究．此时，不难证明对任意的X∈Xo，半线性方程 (1)的温和解 是唯一存在的．需要指出的是，此时半群 (So(t))tko是 0上的非线性Lipschitz算子半群．受 生成元线性扰动问题研究思路的启发，利用外推空间理论，本文致力于研究非线性扰动半群 (So(t))。对 半群 (To(t))o的直接紧性保持问题，获得的研究结果完善了非线性算子半 群理论． 2预备知识