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一、 格林公式 补充题 1. 设 C 为沿 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 内容小结 思考与练习 2. 设 技巧题 已知曲线积分 例9. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注： 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 请分别用线积分、凑微分和不定积分法完成。 与路径无关, 其中 求由 确定的函数 解: 因积分与路径无关 , 故有 即 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第二节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 先证 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若D是多连通区域, 则可通过加辅助线将其转换 为单连通区域 , 如图 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 L1 L2 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 取 , 则 利用格林公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 lˉ 所围的区域为 林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 例5. 计算 其中L是 解: 补入线段 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与L围成封闭区域 则根据格林公式,得 x y 0 例6. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D L n τ 动手题1. 计算 其中L是取逆时针方向 解一（不用格林公式） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 解二（使用格林公式） ② ④ 【课本练习题】 动手题2. 计算 其中L 为 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 提示: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 原式 上半圆周 所围区域为D , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 机动 目录 上页 下页 返回 结