D1_3函数的极限1.pptVIP

3.1 函数极限的概念 两种特殊情况 : 例3.1 证明 定义3.2 设函数 例3.2 证明 例3.3 证明 定义 设函数 3. 函数极限的归并原理 充分性. 3.2 函数极限的性质 具体极限求法 一般有如下结果： 6 (夹逼性)证明 例3.4. 求 例3.5 . 求 3.3 两个重要极限 例3.6 求 2. 例3.8 求 3.4 函数极限的存在准则 定理3.6 单调有界准则 4. 求 5. 试确定常数 a 使 备用题 设 当 则 从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 解: 令 则 例3.9 求 解：令 则当 故 时， 例3.10. 解: 例3.11. 求 解: 原式 = 确界定义 设有函数 若其值域 上的上(下)确界，记作 有上 是 的上(下)界 (下)界，则称 f在A上有上(下)界，并称 在A上的上(下)界， 称 的上(下)确界是 f 在 A 如果 f 在A上既有上界又有下界，则称 f 在A 上有界. (1) 设有函数 f 在区间 上单调增(减) 证： 有上(下)界, 则 存在. 每一点的单侧极限存在. (2) 设函数 f 是区间 I 上单调函数， 则称 f 在 I 内 (1) 不妨设 f 在 单调增有上界， 有 必有上确界，设 根据上确界的定义， 使 故必 由于 又由于 f 单调增，从而有 即 使得 存在 (2) 设有函数 f 在区间 I上单调增. 的任意一点. 由于 f 单调增，所以 都有 从而 f 在 上有上界，故有上 定理3.7 Cauchy 收敛定理 类似可证 也存在. 设 是 I 内 确界. 其中 存在的 是任一函数, 则 设 充分必要条件是 恒有 内容小结 1. 函数极限的 或 定义及应用 2. 函数极限的性质: 唯一性； 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 ？ 局部保号性； 局部有界性 单调有界准则； 柯西收敛准则 夹逼性； 有理运算法则； 复合运算法则 运算法则： 3. 函数收敛准则： 3. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 问 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 目录 上页 下页 返回 结束 3.2 函数极限的性质 3.3 两个重要极限 3.4 函数极限的存在准则 3.1 函数极限的概念 第一章 第三节 函数的极限 是当 它与函数满足下列关系： 一、自变量 无限趋大时的函数极限 如果存在常数 设 是任一函数 那么称 恒有 使得 定义3.1（ 时的函数的极限） 极限存在或有极限. 时 的极限, 记作 或 时 此时又称当 时, 函数 当 的极限 极限可类似的定义. 不难证明 与当 时, 函数 几何解释: 的 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 . 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 证: 故 取 当 时 , 就有 因此 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 二、自变量趋于有限时函数的极限 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 若 记作 几何解释: 即 当 时, 有 证: 欲使 取 则当 时, 就有 因此 只要 证: 则 限制 因此，只要 取 且 即 则当 时， 是常数），若 时 为当 或 它与 满足下列关系： 使得 则称 的左极限，记作： 存在常数 恒有 2. 单侧极限 类似地定义： 的右极限. 时函数 显然， 定理3.1 Heine定理 设 时，相应的函数值数列 为一函数，则 对于 证: 必要性. 中的任何数列 为有限或无穷). 都收敛于 当 则对于 使得 时, 恒有 当 故对上面的 又由于 且 恒有 使得 故 设 用反证法证明. 不以a 为极限. 根据定义3.2， 时， 即当 使得 都 取 则 都 使得 不成立, 假设 数列 但是 却不成立. 因此就得到 由于当 时 中的一个 这与已知条件相矛盾，故必有 定理3.2 设 则 (1) 唯一性. 时， 当 处是局部有界的，即 在 的极限是唯一的. (2) 局部有界性. 使得 又有 证明 (1)用归并原理. 假设极限不唯一，若既有 任取 恒有 既收敛于 (2) 根据极限的定义，对于 使得 则由归并原理，数列 a, 又收敛于b， 与数列极限的唯一性矛盾. 从而