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3.2 方差 一. 定义与性质
方差是衡量随机变量取值波动 程度
的一个数字特征。
如何定义？
1.定义 若E(X2)存在，则称
E[X-E(X)]2
为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 为r.v.X的标准差
可见
2.推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
证明: D(X)=E[X-E(X)]2
例1：设随机变量X的概率密度为
1)求D（X）, 2)求
3. 方差的性质
(1) D(c)=0
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X);
(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；
证明:
(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);
证明:
X与Y独立
1. 二项分布B(n, p)：
二.几个重要r.v.的方差
解法二:
设
第i次试验事件A发生
第i次试验事件A不发生
则
2. 泊松分布p()：
由于
两边对求导得
或
或
3. 均匀分布U(a, b)：
4.指数分布：
5. 正态分布N(, 2)：
思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，
方差都是1。
2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2）
三.切比雪夫不等式
若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
大数定律
已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。
解:由切比雪夫不等式
令
方差与协方差的定义
期望、方差、协方差的性质对比
不相关与独立
切比雪夫不等式
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