叶永南教授.PDF

談數學解題能力之提升 一 、前言 培養學生的數學解題能力是數學教與學的一個重要議題，成功的解題需要解 題者從事一項多變的認知活動，這些認知活動所需要的知識與技巧並非一成不 變；解題者需從問題情境中尋找線索，而且必須善用所學過的數學概念、原理與 技能，並活用策略與方法以尋求解答的歷程。 二 、數學解題的歷程 解題歷程區分成四個步驟： 1.了解問題 (Understanding the Problem)：尋找題目所給的訊息中，其中包含 未知數、已知數、條件、解題目標等重要關鍵。 2.擬定計劃 (Plan)：找出未知數與已知數間的關係，以前是否有解過類似的題 目的解題經驗，或者應該導入一些輔助性的問題與元素，藉由這些元素設計出 解題計畫。 3.實施計劃(Carrying our the plan)：依據規劃好的解題計畫，逐一執行解題 的步驟並逐步的驗證每個步驟的正確性。 4.回顧解答 (Looking back)：將所解得的答案進行驗證，以不同的方法或是將 其結果應用到不同的問題上。 三、數學解題示例： (1) 任給 12 個整數，證明：其中必存在8 個數，將它們用適當的運算符號連起 來後運算的結果是3456 的倍數。 (2) 從 1 到 138 共 138 個正整數中任取 11 個相異的數，證明：在取定的 11 個數 2 3 中一定有兩個互異的正整數，它們的比值k 滿足 ≤ ≤ 。 k 3 2 (3) 在3×4 的長方形中，任意放置6 個點。證明：可以找到兩個點，它們的距離 不大於 5 。 (4) 在5 列33 行的方格棋盤上塗色，每格或塗黑色或塗白色。證明：至少有兩 行塗的顏色完全一樣。 (5) 證明：任意的50 個整數中，或可找到兩個數，它們的和或差是 100 的倍數， 或可找到一個數，它的兩倍是 100 的倍數。 (6) 有 17 座城市，每兩座城市之間要麼有陸路、要麼有水路、要麼有飛機航線 連接著，而且每兩座城市間只有一條線路連接。證明：必存在三座城市，它 們之間的交通路線是一樣的。 (7) 袋中有 109 個球，每次從袋中拿若干個（至少一個），分20 次拿完。證明： 必定存在三次，這三次拿的球數相同。 (8) 證明：17 個整數中必可找到五個數，這五個數之和為5 的倍數。 (9) 由n （n ≧1）個已給質數的積（每個質數可以出現任意多次）組成n ＋1 個 正整數。證明：這n ＋1 個正整數中必可取出若干個數，這些數的乘積是完 全平方數。 (10) 能否在n×n （n ≧3 ）棋盤的每個方格填上數碼1 、2 、3 使得該棋盤的每行、 每列和兩條對角線上的數碼之和互不相同。 (11) 一個大學生在去年暑假用了37 天學習數學，並遵循如下規則： (i) 每天至少學習 1 小時，每天按整小時學習； (ii) 全部學習時間不超過60 小時。 證明：此期間存在連續的若干天，該生學習時間總和為 13 小時。 (12) 公園裡有mn 條小路和若干個花壇，每條小路都連接著兩個花壇。已知每條 小路都塗上m 種顏色之一，使得每個花壇所連出的小路都沒有同色的。求 證：存在一種塗色方法，使得塗有每種顏色的小路都恰有n 條。 (13) 將{1 、2 、3 、…、9}中9 個數塗紅色或藍色，證明：必存在三個同色的數成 等差數列。 (14) 把正整數都塗成黑、白兩色之一。已知兩個不同色的數的和是塗為黑色，而 它們的積是塗為白色。找出所有這樣的塗色方法，並確定兩個白色的數的積 是塗為何種顏色。 (15) 如圖，兩個同心圓構成的圓環被均分割成7 份，連同中間圓共8 個區 S8 S2 域。若要給這8 個區域著色，至少要幾種顏色，才能使相鄰區域不同 S7