关于无限群中两个猜想的一点注记.pdfVIP

第24卷第6期 商丘师 范学院学报 VolI 24 No．6 2008年 6月 JOURNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGE June，2008 关于无限群中两个猜 想的一点注记 张超锋，郭光远 (南昌大学数学系，江西南昌330031) 摘 要：Roger．D．Traub和J．Stallings分别提出了关于无限群的两个代数猜想，这两个猜想后来均已被证明与 宠加莱猜想是等价的．本文作者主要运用无限群与几何拓扑的联系来直接证明猜想1蕴含着猜想2． 关键词：自由群；群的自由积；赫戈分裂；分裂同态 中图分类号：0152．7；0189．2 文献标识码：A 文章编号：1672—3600(2008)06—0014—04 Note on two conjectures in infinite groups ZHANG Chao—feng，GUO Guang—yuan (Department of Mathematics，Nachang University，Nanchang 33003 1，China) Abstract：Two conjectures on infinite groups stated respectively by Roger．D．Traub and J．Stallings have~ready been shown to be equivalent to Poincar6 S Conjecture．In this paper the author mainly use the connection between infinite groups and topology to show that conjecture 2 is directly implied by conjecture 1． Key words：free groups；free product of groups；heegaard splitting；splitting homomorphism 0 引 言 早在1967年Traub 提出了如下关于自由群的猜想： 猜想1 令 ：( 一， ，Y 一，Y )一 ( 一， ，卢 一，卢 )是一个同构，0 ：( ¨… ，Y 一，Y )一 ( 一，X )和0：：( 一， ，卢 一，卢 )一(A 一，A )是两个同态，假设 (1) 诱导一个同构 0：(H[ yi])一(兀[ ，卢 ])； z l z l (2)0 ( ，)=X ，0 (Y )=1，0 (OL，)=A ，0：( )=1(r=1，…，／t)； (3)(A 一，A )=(02／,Z(Y )，…，02／x(y ))，(X 一， )=( (卢 )，…， (卢 ))．那么就存在一 个同构 ：( 一， ，Y 一， )一( ，…， ，卢 一，卢 )使得 = 。 ，在这里 是( 一， ，卢 一， ) 的一个内自同构，同时可以取得 ，…， ∈( --， ，卢 一，卢 )和 ，…，Xn ∈( -．， ，Y 一，Y )使 得 (4)(0 (X1 )，…，0 (Xn ))=(X 一，X )，01 (Otr )=1，02 ( )=1，(r=1，2，…，／t)； (5)( ，…，OLn ， ( )，…， ( ))=(OL ，…，OL ， ，…，卢 )； (6)(H[ ， ( )])=(H[ ])． 对猜想1中的符号作如下标记：(09 一，09 )表示以09 --，09 为一组自由基的自由群，(09 一，09 )表示由 09 一，09 生成的正规子群(即包含所有09 的最小正规子群，另外[ ，Y ]=xiY ． Traub 证明了猜想1蕴