排队论在图书馆的应用.docxVIP

1随机向量x的协方差矩阵Σ一定是非负定矩阵显然，Σ是对称矩阵。设a是任意与x具有相同维度的常数向量，则a’Σa=a’E[(x-u)(x-u)’]a=E[a’(x-u)]2≥0,故Σ≥0，即……2.马氏距离不受变量计量单位影响，是一个无量纲的数值Y=Cx+b,其中C为p*p阶的非退化常数矩阵，b为p维常数向量证：Σy=V(y)=CV(x)C’=CΣxC’。x1，x2经单位变换后为y1，y2，即有y1=Cx1+b，y2=Cx2+b，于是（y1-y2）’Σy-1（y1-y2）=[(Cx1+b)-(Cx2+b)]’(CΣXC’)-1[(Cx1+b)-(Cx2+b)]=(x1-x2)’C’C’-1ΣX-1C-1C(x1-x2)=(x1-x2)’Σx-1(x1-x2).故……3.设X是p维随机向量，A是np的实数矩阵，b是n维常数向量，则有V(AX+b)=AV(X)A’V(Ax+b)=E[(Ax+b)-(Au+b)][(Ax+b)-(Au+b)]’=AE[(x-u)(x-u)’]A’=AV(X)A’4.证明因子载荷阵行元素平方和hi2=Σj=1maij2是公共因子对变量Xi的方差贡献5(1)(2)设X1,X2……Xn是来自正态总体X~Np(u,Σ),Σ0的一个简单随机样本，、S分别是样本均值向量和协方差阵。求证T2=n（-u）’S-1(-u)~T2(p，n-1)由于和S相互独立，（n-1）S~Wp（n-1，Σ），当H0：u=u0为真时，。所以，按T2分布的定义，此时有服从T26.若X~Np（u，Σ），试证u和Σ的极大似然估计是否无偏可知：，，表明是u的无偏估计并可推得不是Σ的无偏估计，有偏的7. 设，，求证：证明：记，因此，的协方差矩阵为：因为，所以又因为，所以，其线性函数也服从2元正态分布。根据正态分布的性质得，与的协方差等于零，说明与不相关且相互独立。8.设X~Np（u，Σ），Σ0，求证：（X-u）’Σ-1(X-u)~χ2(p)令y=Σ-1/2（x-u），于是y~Np（0，I）,由12知y1，y2……yp独立同分布于N(0,1),所以由卡方分布知9.设。试证：与的相关系数达到最大值。由复相关系数的定义知，与的线性函数间的最大相关系数称为与的复相关系数（multiple correlation coefficient），记作。由柯西-许瓦茨不等式知，当时，与的线性函数间的最大相关系数最大，为：又因为，与只相差一个常数项，所以，与相关系数达到最大值。10.证明：第一主成分的方差具有最大值。证明：设T为任一m×m正交矩阵，令,，则正交因子模型表示为：因为所以仍能满足正交因子模型的条件，也是一个正交因子模型，且有因此，因子载荷矩阵A不是唯一的。11.证明因子载荷阵不具有唯一性。设T为任一m×m正交矩阵，令,，则正交因子模型表示为：因为所以仍能满足正交因子模型的条件，也是一个正交因子模型，且有因此，因子载荷矩阵A不是唯一的。12.设X~Np（u，Σ），其中X=(X1,X2…Xp)’,u=(u1,u2…up)’，Σ=diag（σ12，σ22…σp2），试证X1,X2…Xp相互独立因为Σ=diag（σ12，σ22…σp2），所以cov（xi，xj）=0又x~Np（u，Σ），有x1，x2…xp互不相等，所以所以x1，x2…xp相互独立13.设X1,X2…Xn是来自p维正态总体的一个简单随机样本，样本协方差阵S0,试证np令,则由于,从而B不是列满秩，即rank（B）n,故np