一类过山气流背风波问题解法探析.pdfVIP

第 12卷第 4期 杭州师范大学学报 (自然科学版) Vo1．12NO．4 2O13年 7月 JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition) JuL 2013 一 类过山气流背风波问题解法探析 张 瑰 ，崔周进 ，张 梅。，毛 磊 (1．解放军理3-大学理学院，江苏 南京 211101；2．热带海洋环境 国家重点实验室(中国科学院南海海洋研 究所)，广东 广州 510301 3．南京农业大学理学院，江苏 南京 210095) 摘 要 ：研究一类过 山气流 的背风波问题 中产生的二阶变系数微分方程 ，对几种解法 ，如积分方程解法 、幂 级数求解法、构造特解法 以及降阶法等 ，进行简要分析和评述． 关键词 ：二阶微分方程 ；变系数 ；幂级数 ；特解 ；降阶法 中图分类号 ：0175．1 MSC2010：34A30 文献标志码 ：A 文章编号 ：1674—232X(2013)04—0323—04 0 引 言 二阶线性微分方程在微分理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术 中有着广泛应用，其 中很多应 用类型的问题都可归结为二阶变系数线性常微分方程 的求解问题 ，如贝塞尔方程 、勒让德方程 、切 比雪夫 方程等．在经典 的气象和流体力学 问题——过 山气流 的背风波问题 中，通常会遇到如下一类偏微分方 程 ： 塑 一FA() ( ， )一o， 其 中，A(2)为已知函数 ， (z，)为所求．由于本文仅从理论上探析其解法 ，为简单起见 ，文 中仅考虑方程本 身 ，定解条件 (边界条件或初始条件)暂不予考虑． 采用分离变量法 ，令 (z，z)一厂(-z)g()，或者按照大气科学中常用的波解形式 (，2)一g(z)e船进 行求解 ，可以将原问题化为如下的二阶常微分方程 ： +A(z)g()一o． (1) 由于系数A(z)为函数 ，这给求解 g(z)带来 了困难．如何求解 问题 (1)，下面介绍几种方法 ，并对其进行简 要分析和评述． 1 积分方程解法 假设解 g()为连续可微 函数，则对方程 (1)两边同时乘 以2 ，移项得 收稿 日期 ：2013O卜31 基金项 目：国家 自然科学基金项 目；热带海洋环境 国家重 点实验室 (中国科学 院南海海洋研 究所)开放基金项 目 (ITO1205)． 作者简介 ：张 瑰(1973一)，女，副教授 ，博士，主要从事偏微分方程 、反 问题与变分 同化问题研究．E—mail：zhanggui73@163．Corn 通信作者 ：崔周进 (1982 )，男，讲师 ，硕士 ，主要从事非线性微分方程理论与应用研究．E—mail：cuizhoujin@126．corn 324 杭州师范大学学报 (自然科学版) 2013钲 2 d 一 2 )g(z) ， (2) z0 d … 、 dz ’ … 对 求积 ，得 g(2)一Ⅲ一2)g() c] +c2， (3) 其中，常数 c，C。由定解条件来确定． 式(3)给出了求解 g(z)的一个解析表达式 ，这是一个非线性不适定的积分方程 ，它的求解本身就是一 个非常困难 的问题 ．因此 ，从理论上讲，对于方程 (1)，我们采用积分方程方法求解 ，所得到的解看似很 “完美”，但要在方程 (