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力学(Classical Mechanics) 力学(Classical Mechanics) 数学预备知识 微积分初步（calculus) 微积分初步 微积分初步 （Brief introduction to calculus) （Brief introduction to calculus) • 微积分是物理学研究中所使用的重要数学工具之一， 是由牛顿和莱布尼兹各自独立发现的。在力学中，利 用微积分可非常方便地描述物理的运动； • 在力学课的教学中将自始至终用微积分和矢量来描述 物体的运动规律； • 微积分是高等数学课的重要内容，但由于高等数学课 的滞后，需要在力学课的学习之前补充微积分和矢量 的概念 • 本章内容：介绍微积分的基本概念 1. 函数的导数和微分； 2. 不定积分； 3. 定积分； 微积分初步 微积分初步 （Brief introduction to calculus) （Brief introduction to calculus) 一、函数、导数和微分 （一）变量、常量和函数 • 变量：取值会发生变化的量，如时间、运动物体的位置、… • 常量：取值保持一定的量 • 函数：设有两个相互关联的变量x和y ，如果x在其取值范围内任 取一数值时，y 都有确定的值与之对应，则称y 是x 的函数，记 为:y=f(x) – x : 自变量 – y :因变量 – f(x)的定义域：自变量x 的取值范围 – 例：路程与时间s=s(t) • 复合函数：若y 是z 的函数，y=f(z) ，而z 又是x 的函数，z=g(x) ，则 称y 是x 的复合函数，记为：y=ϕ(x)=f[g(x) ] – z=g(x) :中间变量 – 例：x=Acosωt, x是t的复合函数，中间变量为ωt （Brief introduction to calculus) （Brief introduction to calculus) （二）导数（derivative) • 定义： 设函数：y=f(x) x : y f (x ) x +∆x : y f (x +∆x ) 0 0 0 0 ∆y f (x +∆x ) −f (x ) 0 0 ∆y /∆x ：函数y=f(x) 在[x , x +∆x]之间的平均变化率 0 0 如果当∆x 0时，∆y /∆x 有极限，则称f(x)在x0处可导，并把该极限称为f(x) 在x0处的导数（或微商） ′ ′ dy ∆y f (x0 +∆x) −f (x0 ) f (x0 ) y lim lim x x0 dx